Ayuda con la prueba de la competencia monopolística, demostrar el amor por la variedad

Question

Necesito ayuda con una prueba.

Supongamos que = 2 y que sólo hay dos bienes. Verificar que la siguiente función de utilidad exhibe Amor por los gustos de la variedad, mostrar que:

u(a + [1 ]b, b + [1 ]a) > u(a, b) para 1 > > 0

Además, me dan la función de utilidad: $$ \\u(q_1,q_2, ...q_n) = \sum_1^N \sqrt[]{q_i}\, $$

En la fase previa a la pregunta, se me da un problema diferente para probar que debería ayudarme a resolver el anterior.

Utiliza la misma función de utilidad, y tengo que demostrar que el consumidor quiere una variedad de dos empresas, en lugar de una sola empresa, creo que lo he descubierto pero no sé cómo aplicar lo que hice en la prueba anterior, tengo que demostrar que sqrt(x) + sqrt(y) > sqrt(x + y):

$$ \sqrt{x} + \sqrt{y} > \sqrt{x+y}, $$ $$ (\sqrt{x} + \sqrt{y})^2 > (\sqrt{x + y})^2 $$ $$ 2\sqrt{xy} + x + y > x + y $$ $$ 2\sqrt{xy} > 0 $$

Cualquier ayuda se agradece sinceramente.

Answer 1

Usted tiene

$$ \begin{align} u(\lambda a + (1 - \lambda) b, \lambda b + (1 - \lambda)a) &= \sqrt{\lambda a + (1 - \lambda)b} + \sqrt{\lambda b + (1 - \lambda)a} \\ &\geq \lambda\sqrt{a} + (1 - \lambda)\sqrt{b} + \lambda\sqrt{b} + (1 - \lambda)\sqrt{a} \\ &= \sqrt{a} + \sqrt{b} \\ &= u(a, b) \end{align}$$

La desigualdad de la segunda línea se deriva de la desigualdad de Jensen para funciones cóncavas. No creo que sea necesario demostrar la desigualdad de Jensen, pero si quieres puedes hacerlo de forma moderadamente fácil con la desigualdad AM-GM.