Una revisión de la DID simple y la DID generalizada

Question

Después de un par de preguntas, tengo curiosidad sobre la inclusión de la variable Post y Treat en un DID simple (dos grupos de dos períodos de tiempo). Principalmente sabemos que hay dos tipos de DID que incluyen sencillo y generalizado .

Del DID genralizado, de esta discusión podemos ver que Publicar en y Tratar no se incluyen en la ecuación de regresión porque serán absorbidos por los efectos fijos de grupo y de período (normalmente denominados efectos fijos de empresa y de año).

Vuelvo a revisar la ecuación del DID simple en este enlace :

$$Y_{it} = \beta_0 + \beta_1*P_t + \beta_2*T_i + \beta_3(P_t*T_i) + u_{it}$$

Mientras que $P_t$ y $T_i$ son las variables Post y Treat en consecuencia. Mi preocupación es

(1) si no debemos ejecutar el efecto fijo de grupo y periodo para el DID simple porque se tragarán las variables $P_t$ y $T_i$ como en el caso generalizado?

(2) Y como no se ejecuta el efecto fijo de unidad y período, ahora $u_{it}$ sería un desastre. Es decir ahora $u_{it}$ incluirá variables variables en el tiempo, variables invariables en el tiempo y variables que varían tanto en el tiempo como en las empresas, por ejemplo, de esta discusión :

$$u_{i,t} = \delta_i + \gamma_t + \chi_{i,t} $$

En el DID generalizado, dado que controlamos el efecto fijo del grupo y del periodo, sólo tenemos que añadir variables independientes para satisfacer $$ \mathbb{E}(\chi x) = 0 $$ ¿Es correcto?

Si es el caso, porque parece que no podemos controlar el efecto fijo de la empresa y del año en el DID simple. Por lo tanto, tenemos que añadir más variables para tratar de alcanzar $$\mathbb{E}(\delta x) =0$$ y $$\mathbb{E}(\gamma x)=0$$ aparte de $$\mathbb{E}(\chi x) = 0$$ Me pregunto si aparte de añadir demasiadas variables independientes, que pueden causar multicolinealidad ¿hay alguna otra solución para resolver el término de error desordenado en el DID simple?

Answer 1

(1) si no debemos ejecutar el efecto fijo de grupo y periodo para el DID simple porque se tragarán las variables $P_t$ y $T_i$ como en el caso generalizado?

En una regresión simple de 2 períodos y 2 grupos, el $P_t$ y $T_i$ variables son capturando el efecto fijo de tiempo y grupo. De hecho, la regresión con efectos fijos es formalmente idéntica a la especificación DiD simple.

Para ver esto supongamos que hay dos periodos de tiempo $t = 0,1$ y dos grupos $g = 0,1$ entonces la estimación con efectos fijos toma la forma: $$ y_{i,t,g} = \alpha_0 D_i(t=0) + \alpha_1 D_i(t = 1) + \alpha_2 D_i(g = 0) + \alpha_3 D_i(g = 1) + \alpha_4 x_{i,t,g} + \varepsilon_{i,t,g}. $$ Aquí $D_i(t = 0)$ es una variable ficticia que es igual a uno si $t = 0$ etc.

Si sólo hay dos períodos de tiempo, tenemos que $D_i(t = 0) = 1 - D_i(t = 1)$ y $D_i(g = 0) = 1 - D_i(g = 1)$ . Utilizando esta sustitución se obtiene: $$ y_{i,t,g} = \underbrace{(\alpha_0 + \alpha_2)}_{\beta_0} + \underbrace{(\alpha_1 - \alpha_0)}_{\beta_1} D_i(t = 1) + \underbrace{(\alpha_3 - \alpha_2)}_{\beta_2} D_i(g = 1) + \alpha_4 x_{i,t,g} + \varepsilon_{i,t,g}. $$ Si denotamos $T_i = D_i(t = 1)$ , $P_i = D_i(g = 1)$ y si consideramos el caso en que $x_{i,t,g} = T_i P_i$ obtenemos: $$ y_{i,t,g} = \beta_0 + \beta_1 T_i + \beta_2 P_i + \alpha_4 T_i P_i + \varepsilon_{i,t,g}. $$ Así que $\alpha_4$ es exactamente el estimador DiD para un modelo con efectos fijos de tiempo y grupo; El $\beta$ -son simples combinaciones lineales de los parámetros $\alpha$ -parámetros.