Como primer punto, en general, la línea de puntos indica que los nodos están en el mismo conjunto de información. Así que en tu ejemplo, hay un único conjunto de información para el jugador Rojo y como tal tiene 2 acciones---ya que no puede decir en cuál de los 3 nodos se encuentra, no puede condicionar su acción a esta información, y por lo tanto debe tomar la misma acción (ya sea a la izquierda ( $l$ ) o a la derecha ( $r$ )) independientemente de su posición.
Si, por el contrario, no hubiera línea de puntos, el jugador rojo sabría qué acción ha realizado el jugador azul: llamémosles $L$ , $M$ o $R$ . Contrariamente a lo que usted entiende, en esta situación, el jugador rojo tiene efectivamente 8 estrategias. En concreto, puede elegir jugar $l$ o $r$ condicionada a cada una de las tres acciones que podría observar el juego de Blue: dejar $(x,y,z) \in \{l,r\}^{3}$ denotan la estrategia en la que Red juega $x \in \{l,r\}$ con la condición de $L$ , $y \in \{l,r\}$ con la condición de $M$ y $z \in \{l,r\}$ con la condición de $R$ Las 8 estrategias son
$$(l,l,l),(l,l,r),(l,r,r),(l,r,l),(r,l,l),(r,l,r),(r,r,r),(r,r,l)$$
Para entender de forma más general lo que ocurre, puede ser útil pensar de forma menos formal y más filosófica en lo que es un conjunto de información. Un conjunto de información es una colección de posiciones de juego (nodos) que un jugador no puede distinguir (se puede pensar que la línea de puntos representa este enredo). Entonces, si un jugador no puede distinguir entre las posiciones, ciertamente no puede elegir diferentes acciones en diferentes posiciones, ya que cómo haría esto en la práctica. Así que el jugador hace una elección por cada conjunto de información. Si, por el contrario, el jugador puede distinguir las posiciones, tiene muchos conjuntos de información y, por lo tanto, debe hacer muchas más elecciones.
La explosión combinatoria en el espacio de estrategias proviene del hecho de que cada una de estas elecciones puede hacerse de forma independiente. 1 Por lo tanto, cambiar lo que el jugador rojo hará después de la elección de $L$ por parte del jugador Azul produce dos estrategias para cada elección fija de los otros conjuntos de información. Cuando hay más periodos de juego, este crecimiento se hace muy muy rápido (recuerdo que en la escuela de posgrado calculé que el número de estrategias en el tres en raya era mucho mayor que los átomos del universo observable). Por otro lado, tener muchas estrategias no hace que el juego sea necesariamente más complicado, ya que muchas de las estrategias pueden identificarse mediante simetría u otras heurísticas.
1 Hay una sutileza en este sentido, ya que algunas acciones pueden impedir que se llegue a otros conjuntos de información: no obstante, en general una estrategia se toma como una elección de acción en <em>cada </em>conjunto de información -incluyendo las excluidas por acciones anteriores en la misma estrategia
