Estoy leyendo el Cálculo Estocástico de Shreve y estoy un poco confundido por la notación cuando introduce por primera vez una Martingala con la definición: $E_n(X_{n+1})=X_n $ Lo que no entiendo es por qué el $X_n$ se escribe con mayúsculas. Pensaba que cuando nos referimos a un valor específico que toma una variable aleatoria escribíamos $x$ en lugar de $X$ . ¿Acaso el $X_n$ se refieren aquí a un valor conocido en el momento $n$ ?
Respuesta
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Tienes que aclarar por ti mismo lo que significa la notación aquí. El operador $\mathbb{E}_{n}$ es una abreviatura de una expectativa condicional, dado algún álgebra sigma digamos $\mathcal{F}_{n}$ de una filtración $\lbrace \mathcal{F}_{n}\rbrace_{n\ge 1}$ es decir \begin{equation} \mathbb{E}_{n}[X]:=\mathbb{E}[X|\mathcal{F}_{n}]. \end{equation} ¡Y este tipo no es determinista sino aleatorio! Es decir, se define como la variable aleatoria que se integra contra todo $\mathcal{F}_{n}$ -variables aleatorias medibles de la misma manera que $X$ lo hace. Ahora $\mathbb{E}_{n}[X_{n+1}]$ siendo al azar, deberías estar menos sorprendido por $X_{n}$ (que es aleatorio) que está en mayúsculas en el lado derecho de su ecuación. Se trata de una identidad entre dos variables aleatorias (que, por tanto, sólo se pide que sea cierta $\mathbb{P}$ -casi seguro).
