Suponiendo que los supuestos de Black-Scholes son correctos, ¿la rentabilidad esperada de la compra/venta de opciones sería 0?

Question

Estoy tratando de consolidar mi comprensión de la fijación de precios de las opciones y las distribuciones neutrales al riesgo.

Si los supuestos de la fijación de precios de las opciones de Black-Scholes fueran ciertos para un subyacente (es decir, que el precio futuro de las acciones se describiera mediante una distribución lognormal) y se pudiera encontrar siempre una opción en la que el precio del subyacente, el IV y el strike fueran exactamente iguales, ¿la rentabilidad esperada de comprar (o vender) esta opción una y otra vez, sería igual a cero? (Tal vez, si no es exactamente cero, sea el precio a plazo de la opción ajustado por la tasa libre de riesgo).

Por ejemplo, supongamos que compro una call semanal a una semana del vencimiento. Cada semana, puedo encontrar alguna acción que cotice a 100 y tenga un IV del 15%. Cada semana compro la opción de 100. Si la tasa libre de riesgo es cero, podemos decir que el 50% de las veces la opción de compra vence OTM y el 50% ITM. ¿Cuál es el rendimiento esperado (dentro de los supuestos de BS) de esta estrategia? Creo que la respuesta es cero. ¿Es correcto? En otras palabras, las veces que ganamos dinero equilibran exactamente las veces que la call vence sin valor.

EDITAR: Así que he pensado en intentar abordar la cuestión con una simulación. Lo que hice fue realizar una simulación de Montecarlo. Tengo entendido que BS asume que el precio futuro seguirá : $$ S = S_0 \exp\left(\mu t - \frac{\sigma^2}{2} t + \sigma \sqrt{t} u \right) $$ donde $u$ es una extracción de una distribución normal estándar. Si establezco $\mu=0$ y calcular $S$ para 50.000 diferentes $u$ puedo calcular el valor de la opción de compra a su vencimiento de la siguiente manera $\max(S-K,0)$ .

Siguiendo la hipótesis anterior:

• Precio inicial S0 = 100
• Huelga K = 100
• Tipo libre de riesgo r = 0
• Tiempo de caducidad T = 7/365

Las ecuaciones de la BS valoran esta llamada en 0,829. La simulación de Monte Carlo coincide con dos decimales.

¿Y la tasa libre de riesgo? Si lo fijamos en el 3%, el valor de BS aumentará a 0,857. Puedo hacer que el Monte Carlo coincida si establezco $\mu$ en la ecuación anterior a $r$ .

Todavía estoy interesado en los comentarios sobre si estoy enfocando esto correctamente.

Answer 1

El BS no lo requiere.

La deriva real de las acciones puede ser mayor que la tasa libre de riesgo, por lo que en promedio se gana dinero.

Si esto le parece raro, olvide la opción y considere las acciones. Si la compras y la mantienes durante una semana, deberías ganar dinero en promedio sobre la tasa libre de riesgo, ya que obtienes una compensación por el hecho de que puedes perder dinero.

Answer 2

Esto es totalmente cierto. La fórmula básica de fijación de precios que debe funcionar para todos los activos (incluidas las opciones) es \begin{equation} P=E[m*X] \end{equation}

donde $P$ es el precio, $m$ el factor de descuento, y $X$ la recompensa. Esto también se puede reescribir \begin{equation} 1=E[m*R] \end{equation}

con $R$ la vuelta. Esto se conoce como la ecuación de Euler.

En el mundo de Black y Scholes, el factor de descuento estocástico es la probabilidad neutra de riesgo. Por lo tanto, en el mundo de Black y Scholes, es cierto que si se compra cualquier opción (pagando el precio de Black y Scholes), no se ganará dinero en promedio. Por supuesto, la relación se mantiene en promedio, esto significa que puede ganar (o perder) dinero por una opción determinada, pero si repite su estrategia un número infinito de veces, no ganará exactamente nada.

En efecto, se puede pensar en ello diciendo que las realizaciones en las que se gana equilibran exactamente las realizaciones en las que se pierde (se pierde el precio que se pagó por la opción).

En la vida real, la volatilidad no es constante (a diferencia de lo que ocurre en el mundo de Black y Scholes), por lo que el beneficio global de seguir su estrategia dependerá de la diferencia entre la volatilidad realizada y la volatilidad utilizada para fijar el precio de su opción, es decir, la volatilidad implícita.

Tenga en cuenta que esto es cierto sólo si usted paga el precio de Black Scholes, en general hay un costo de la opción de comercio, es decir, la volatilidad implícita utilizada para el precio de la opción que va a comprar / vender es diferente de la del mercado (tipo de oferta / demanda). Así que en este caso, si suponemos que no hay volatilidad variable en el tiempo, básicamente perderá dinero en promedio con su estrategia.

Answer 3

Para obtener la respuesta, debe conocer la diferencia entre forward y futuros. Si todas las opciones de su estrategia no se liquidan realmente, sino que sólo se marca una P&L, entonces encontrará que a largo plazo su rendimiento es 0. Esto es similar a un contrato a plazo. Sin embargo, si estas opciones se liquidan, obtendrá una P&L realizada que es MtM semanal. Esto es como un contrato de futuros. La diferencia debería ser su rendimiento realizado.

Answer 4

No. En el BS se recompensa por el riesgo que se asume, y la prima de riesgo (es decir, el exceso de rendimiento instantáneo sobre el tipo libre de riesgo) es $\frac{\mu-r}{\sigma}\ \sigma^*_t\ dt$ donde $\sigma^*_t$ es el vol instantáneo de su posición.

Para una posición bursátil simple, el vol instantáneo es constante, $\sigma^*_t=\sigma$ por lo que se tiene un exceso de rendimiento constante de $(\mu-r)\ dt$ en todo momento.

En el caso de una opción, el vol instantáneo no es constante, ya que la opción se mueve dentro y fuera del dinero, por lo que hay que integrar sobre todas las trayectorias/conjunto. Sin embargo, siempre es positivo.