Existencia de un equilibrio competitivo entre la función de utilidad máxima y la función de utilidad mínima

Question

U1(x1,y1)=max(x1,y1) 1=(0.2,0.2);
u2(x2,y2)=min(x2,y2) 2=(0.8,0.8)

Las funciones de utilidad para dos individuos y sus dotaciones se dan arriba para una economía de dos personas y dos bienes. Mi pregunta es si existe algún vector competitivo de precios que dé lugar a un equilibrio competitivo en la economía. Utilicé el análisis de la caja de Edgeworth y determiné que las curvas de indiferencia para ambos individuos coincidirán completamente y tendrán forma de L para el individuo 2 y una forma de L invertida para el individuo 1. Sin embargo, el individuo 1 siempre buscará un óptimo de frontera mientras que el óptimo para el individuo 2 estará en el pliegue de la curva de indiferencia en forma de L.

He asumido que el bien 2 es el bien numérico con precio = 1, y he supuesto que el precio del bien 1 es simplemente p. Así, la renta del individuo 1 = 0,2p+0,2 y la renta del individuo 2 = 0,8p+0,8. También inspeccioné tres casos

CASO 1

Cuando p>1. La demanda del bien 1 por parte del individuo 1 será nula, porque el bien 2 es más barato. La demanda del bien 1 por parte del individuo 2 = (0,8p+0,8)/(1+p). He igualado la demanda y la oferta, y he comprobado que el precio salía negativo, lo cual es un imposible, así que he descartado este caso.

CASO 2

Cuando p<1. La demanda del bien 1 por el individuo 1 = (0,2p+0,2)/p y por el individuo 2 = (0,8p+0,8)/(1+p). Igualé la demanda y la oferta, y encontré que el precio salía negativo, lo cual es un imposible, así que descarté también este caso.

CASO 3

Cuando p=1. El individuo 1 demandará cero unidades o todas las 0,4 unidades que pueda permitirse a ese precio. La demanda del individuo 2, por su parte, será de 0,8 unidades del bien 1. Me he quedado atascado aquí. Parece que no existe un equilibrio competitivo. ¿Estoy equivocado en algún punto?

Answer 1

De hecho, no hay ninguna ecuación competitiva. Para ver este análisis caso por caso es la mejor manera de avanzar.

Si cualquiera de los dos precios es 0, el consumidor 1 demandará una cantidad infinita, los mercados no se despejarán. Si ambos precios son positivos, el consumidor 1 sólo demandará 1 de los 2 bienes. Sin embargo, el consumidor 2 exige la misma cantidad de cada bien en cualquiera de estos casos. Ninguna asignación es compatible con estas dos demandas.

El fallo radica en que las funciones de demanda (en particular la del consumidor 1) no son continuas. Esto ocurre porque 1 tiene una función de utilidad convexa.