Maximización de la utilidad: contaminación y precio de la vivienda

Question

Una fábrica libera un contaminante tóxico que causa dos tipos de daños a un residente de la zona representativa cuya función de utilidad es $U(S,H,x)= a \cdot \log(S) + b \cdot \log(H) + c \cdot \log (x)$ donde $S$ = nivel de salud; $H$ = precio de mercado de la propiedad residencial, una medida de la calidad de la vivienda, tal que $b \cdot \log(H)$ representa la satisfacción del acto de residir en el inmueble. En primer lugar, el nivel de salud se ve moderadamente reducido por la mayor recurrencia de síntomas de alergia como la tos y el dolor de garganta, que viene dada por la función $S = s_0 \cdot \frac{k}{u}$ , $u$ siendo la cantidad del contaminante tóxico y $k$ siendo la cantidad de servicios sanitarios. La constante $s_0$ es positivo. El segundo efecto es el deterioro de la pintura y el aspecto exterior de los inmuebles circundantes, que se produce a través de la función $H = h(u), \frac{\operatorname{d}\!h}{\operatorname{d}\!u} < 0$ . La restricción presupuestaria del agente es $p \cdot x + r \cdot k = W$ , donde $p$ es el precio del bien de consumo. Todos los mercados relevantes son competitivos.

Argumentar que $\frac{\partial U(k^*(u), h(u), x^*(u))}{\partial u} = \frac{a}{S(k^*)} \cdot \frac{\partial}{\partial u} \left(\frac{s_0 \cdot k^*(u)}{u}\right) + \frac{b}{H(u)} \cdot \frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!u} H(u) + \frac{c}{x^*} \cdot \frac{\partial}{\partial u} x^*(u)< 0$ es decir, una gran exposición a la contaminación conduce efectivamente a una pérdida de bienestar suponiendo que $\frac{\partial}{\partial u} \left(s_0 \cdot \frac{k^*(u)}{u} \right) < 0$ y utilizando la información proporcionada en la pregunta.

Lo que traté de hacer es: primero configuramos el problema de maximización: $$ \underset{k,u, x}{\operatorname{max}} \,\, U(k, h(u), x) = a \cdot \log \left[s_0 \cdot \frac{k}{u}\right] + b \cdot \log[h(u)]+ c \cdot \log (x) \\ s.t. \quad p \cdot x + r \cdot k = W $$ lo que nos da las siguientes condiciones de primer orden: $$ \begin{cases} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial k} = 0 \rightarrow a \cdot \frac{\frac{s_0}{u}}{s_0 \cdot \frac{k}{u}} - \lambda \cdot r = 0 \therefore \lambda = \frac{a}{k \cdot r} \\ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x} = 0 \rightarrow \frac{c}{x} - \lambda \cdot p = 0 \therefore \lambda = \frac{c}{x \cdot p} \\ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial u} = 0 \rightarrow a \cdot \frac{u}{s_0 \cdot k} \cdot \left(-\frac{s_0 \cdot k}{u^2}\right) + b \cdot \frac{1}{H(u)} \cdot H'(u) = 0 \therefore a = b \cdot \frac{H'(u)}{H(u)} \cdot u = b \cdot \epsilon_u \\ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \lambda} = 0 \rightarrow p \cdot x + r \cdot k = W\end{cases}$$ donde $$\epsilon_u = \frac{H'(u)}{H(u)} \cdot u$$ es la elasticidad del precio de la propiedad con respecto al nivel de contaminación.

Utilizando las ecuaciones primera, segunda y última, llegamos a: $$x = \frac{c \cdot W}{p \cdot (a+c)}, \qquad k = \frac{a \cdot W}{r \cdot (a+c)}$$

Ahora sustituyendo el valor que hemos encontrado por $a$ en estas ecuaciones, tenemos: $$x^\star(u) = \frac{c \cdot W}{p} \cdot \left(\frac{1}{b \cdot \epsilon_u + c}\right)$$ y $$k^\star(u) = \frac{b \cdot W}{r} \cdot \left(\frac{\epsilon_u}{b \cdot \epsilon_u + c}\right)$$

Ahora, tomando la derivada de $x^\star(u)$ en relación con $u$ y reordenando la expresión, encontramos que $$\frac{\partial x^\star(u)}{\partial u} = \frac{c \cdot W}{p} \cdot \left(-\frac{b \cdot \epsilon_u'}{(b \cdot \epsilon_u + c)^2}\right) = -\frac{b \cdot c \cdot W}{p \cdot (b \cdot \epsilon_u + c)^2} \cdot \epsilon_u'$$ y, por tanto, el signo de esta expresión depende únicamente del signo de $\epsilon_u'$ .

Teniendo en cuenta la información dada en la pregunta, podemos ver que $\frac{\partial U(k^*(u), h(u), x^*(u))}{\partial u} < 0$ se producirá si $\frac{\partial}{\partial x} x^*(u) < 0 \iff \epsilon_u' > 0$ . Teniendo esto en cuenta, vamos a intentar definir la señal de esa derivada: $$ \begin{aligned} \epsilon_u’ &= \left( \frac{H’’(u) \cdot H(u) - H’(u) \cdot H’(u)}{H(u)^2}\right) \cdot u + \frac{H’(u)}{H(u)} \\ &= \frac{H''(u)}{H(u)} \cdot u - \left[ \frac{H'(u)}{H(u)} \right]^2 \cdot u + \frac{H'(u)}{H(u)} \\ &= \frac{H''(u)}{H(u)} \cdot u + \frac{H'(u)}{H(u)} \cdot \left[ 1 - \frac{H'(u)}{H(u)} \cdot u \right] \end{aligned} $$

Ahora bien, como $H(u)$ es siempre positivo y $H'(u)$ es negativo, $\frac{H'(u)}{H(u)} < 0$ y $1 - \frac{H'(u)}{H(u)} \cdot u > 0$ lo que significa que $\frac{H'(u)}{H(u)} \cdot \left[ \frac{H'(u)}{H(u)} \cdot u \right] < 0$ . Si además suponemos que $H(u)$ presenta rendimientos marginales decrecientes en $u$ entonces $H''(u) < 0$ y así, $\epsilon_u' < 0$ .

Desde que descubrí que $\epsilon_u' < 0$ , lo que significa que $\frac{\partial}{\partial u} x^\star(u) > 0$ y por eso no puedo determinar si $\frac{\partial U(k^*(u), h(u), x^*(u))}{\partial u} < 0$ o no. ¿Qué he hecho mal?

Agradezco cualquier ayuda.

EDIT: Añadiendo el resto de preguntas, a ver si ayuda.

a) Encuentre el impacto marginal del grado de contaminación $u$ en las cantidades adquiridas de los bienes de consumo y los servicios sanitarios.

b.1) Demuestre que el impacto marginal del grado de contaminación en el "nivel de utilidad de equilibrio" es $\frac{\partial U(k^*(u), h(u), x^*(u))}{\partial u} = \frac{a}{S(k^*)} \cdot \frac{\partial}{\partial u} \left(\frac{s_0 \cdot k^*(u)}{u}\right) + \frac{b}{H(u)} \cdot \frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!u} H(u) + \frac{c}{x^*} \cdot \frac{\partial}{\partial u}$ .

b.2) Argumentar que $\frac{\partial U(k^*(u), h(u), x^*(u))}{\partial u} = \frac{a}{S(k^*)} \cdot \frac{\partial}{\partial u} \left(\frac{s_0 \cdot k^*(u)}{u}\right) + \frac{b}{H(u)} \cdot \frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!u} H(u) + \frac{c}{x^*} \cdot \frac{\partial}{\partial u} x^*(u)< 0$ es decir, una gran exposición a la contaminación conduce efectivamente a una pérdida de bienestar suponiendo que $\frac{\partial}{\partial u} \left(s_0 \cdot \frac{k^*(u)}{u} \right) < 0$ y utilizando la información proporcionada en la pregunta.

Answer 1

En su problema de maximización el residente elige el nivel de contaminación $u$ . Si realmente puede hacerlo, el problema de maximización no tiene solución, ya que $U$ se convierte en infinito para $u\rightarrow 0$ .

Supongo que, en realidad, el residente no elige el nivel de contaminación, que más bien parece ser un parámetro dado exógenamente aquí. Pero entonces $(x^*,k^*)$ no depende de $u$ ya que $u$ sólo escala la función de utilidad. Entonces, demostrar que la utilidad disminuye en la contaminación es trivial, y también la suposición adicional al final es redundante. ¿Es esta realmente la versión original de la pregunta?