¿Cuál es la expectativa de precio de las acciones?

Question

El libro de texto de Hull (y su acompañamiento nota técnica ) dice que el precio esperado de las acciones $\mathbb{E}[S_T]=S_0 \exp(\mu T)$ . Sin embargo, las respuestas a un Examen actuarial británico (Q4 para septiembre de 2018) exigen que sea $S_0 \exp (\mu T +\frac{\sigma^2}{2}T)$ . ¿Por qué no coinciden estos valores?

Answer 1

En el libro de texto de Hull, la dinámica del precio de las acciones es lognormal: $S_T = S_0 \exp(\mu T - \frac{1}{2}\sigma^2T + \sigma W_T)$ , donde $W_t$ es un movimiento browniano estándar. Y así la media de esto es la media de una variable aleatoria lognormal con la media logarítmica como $\ln S_0 + \mu T - \frac{1}{2}\sigma^2T$ y la desviación estándar logarítmica como $\sigma \sqrt{T}$ por lo que la media es ( enlace a la información sobre la media log-normal ), $S_0\exp(\mu T)$ .

En el examen, la dinámica del precio de las acciones también es lognormal, pero ahora no hay un término medio que implique $\sigma$ Así que $S_T = S_0 \exp(\mu T + \sigma W_T)$ . Esto es así ya que la pregunta está diciendo que existe, según la notación de la wikipedia (y también la estándar), un $\mu$ y un parámetro $\sigma$ por lo que el parámetro $\mu$ es como se indica. Por tanto, la media de esta variable aleatoria logarítmica normal es $S_0\exp(\mu T+ \frac{1}{2}\sigma^2T)$ .

Así que los dos resultados no se contradicen. Son respuestas diferentes, pero ninguna es "errónea", aunque el resultado de Hull es el típico que se ve en todos los libros de texto de finanzas. El resultado del examen actuarial es sólo un caso particular de una dinámica log-normal para el precio de las acciones que decidieron utilizar.

Answer 2

Centrémonos en la nota técnica, pero cambiemos los símbolos para facilitar la comparación. La nota tiene dos partes:

En primer lugar, si suponemos que el precio de las acciones es logarítmico normal con los siguientes parámetros:

$S_t \sim \mathrm{LN}\left(\ln S_0+\mu t,\sigma^2 t\right)$

entonces, por definición, su registro se distribuye normalmente:

$\ln S_t \sim \mathrm{N}\left(\ln S_0+\mu t,\sigma^2 t\right)$

Podemos escribirlo en términos de normalidad estándar:

$\ln S_t=\ln S_0+\mu t+\sigma \sqrt{t} Z$

lo que significa:

$S_t=S_0 e^{\mu t+\sigma \sqrt{t} Z}$

La media de la variable anterior es efectivamente:

$E\left[S_t \right]=S_0 e^{E \left[ {\mu t+\sigma \sqrt{t} Z}\right]+ 0.5 V\left[ {\mu t+\sigma \sqrt{t} Z}\right]}=S_0 e^{\mu t+0.5\sigma^2 t}$

Esto equivale a $e^{m+s^2/2}$ en la nota técnica de Hull (justo después de la ecuación 1).

Por otro lado, si suponemos que el precio de las acciones sigue a GBM:

$\frac{dS_t}{S_t}=\mu dt + \sigma dW_t$

Entonces, aplicando el lema de ito, sabemos que esto significa:

$d \ln S_t=\mu dt+\sigma dW_t-\frac{1}{2}\sigma^2 dt$

$\ln S_t=\ln S_0+\mu t+\sigma W_t-\frac{1}{2}\sigma^2 t$

o en términos de normalidad estándar (después de la reordenación):

$\ln S_t=\ln S_0+\left(\mu-\frac{1}{2}\sigma^2\right) t+\sigma \sqrt{t}Z$

$S_t=S_0 e^{\left(\mu-\frac{1}{2}\sigma^2\right) t+\sigma \sqrt{t}Z}$

Así que es logarítmica normal pero con media $\ln S_0+\left(\mu-\frac{1}{2}\sigma^2\right) t$ y la varianza $\sigma^2t$ . Y la nota técnica de Hull da estas fórmulas inmediatamente después de la ecuación $e^{m+s^2/2}$ a la que hice referencia anteriormente. La nota hace referencia al texto, que creo que es la ecuación 13.3 del libro de texto de Hull (7ª edición). Así, podemos calcular su valor esperado de la siguiente manera:

$E\left[S_t \right]=S_0 e^{E \left[ {\left(\mu-0.5 \sigma^2\right) t+\sigma \sqrt{t} Z}\right]+ 0.5 V\left[ {\left(\mu-0.5\sigma^2\right) t+\sigma \sqrt{t} Z}\right]}=S_0e^{\left(\mu-0.5\sigma^2\right) t+0.5\sigma^2 t}=S_0 e^{\mu t}$

Ahora, la terminología del examen: Parece que el examen está usando un modelo log normal con deriva $\mu$ a la distribución lognormal media con media $\mu$ .

Volver a comentar La distribución marginal 1D del proceso GBM es efectivamente logarítmica normal, pero la parte complicada es la conexión entre la deriva y la media. Si representamos el GBM con la deriva $\mu t$ y la varianza $\sigma^2 t$ por $\mathrm{GBM} \left(\mu t, \sigma^2 t\right)$ entonces el valor del proceso en el momento t, $S_t$ dado su valor actual, $S_0=1$ , ha $\mathrm{LN} \left(\mu t-\frac{1}{2}\sigma^2t, \sigma^2 t \right)$ .

Para las opciones dependientes de la trayectoria, si se utiliza el enfoque de la distribución de probabilidad, se necesitará la distribución conjunta de los valores del proceso en diferentes momentos. La distribución conjunta de la mayoría de los pagos no estará disponible en forma manejable. Aunque para algunas opciones dependientes de la trayectoria, por ejemplo, la media geométrica, la distribución conjunta es fácil de utilizar porque la distribución conjunta es de nuevo log-normal. Así que lo mejor sería utilizar un método numérico: simular los valores del proceso bajo la medida de riesgo neutral, o utilizar un enfoque basado en la EDP.