Cómo calcular $\mathbb{E} \left[ (W_s + W_t - 2W_0)^2 \right]$ ?

Question

La solución de la SDE

$$dx_t= -kx_t dt + cx_t dW_t$$

es

$$x_t = x_0 e^{\left(c - \frac{k^2}{2} \right)t}e^{-k W_t}$$

con la media

$$\mathbb{E} \left[ x_t \right] = x_0 e^{\left(c - \frac{k^2}{2}\right)t}$$

donde $W_)$ es el proceso de Wiener.

Estoy buscando calcular

$\mathbb{E} \left[ (W_s + W_t - 2W_0)^2 \right]$

pero no estoy seguro de cómo proceder.

Answer 1

Yo lo calcularía así,

$\mathbb{E}[(W_s+W_t2W_0)^2] = \mathbb{E}\left[\left((W_s-W_0)+(W_t-W_0)\right)^2\right]\\ \hspace{4cm}=\mathbb{E}[(W_s-W_0)^2]+\mathbb{E}[(W_t-W_0)^2]+2\mathbb{E}[(W_s-W_0)(W_t-W_0)] \\ \hspace{4cm}=s+t+2\mathbb{E}[W_sW_t]\\ \hspace{4cm}=s+t+2\min(s,t)$

Answer 2

Su solución $x_t$ se equivoca.

Tu media también es errónea. Tenga en cuenta que $\mathbb{E}\left[ e^{W_t}\right] = e^\frac{t}{2}$ . He corregido la errata señalada por Richard.