CobbDouglas: Costes marginales constantes y rendimientos constantes a escala

Question

Una empresa tiene una función de producción: $$y=x_1^{\alpha}x_2^{1-\alpha}$$

donde $0<\alpha<1$ . Costes del factor 1 $w_1> 0$ y los costes del factor 2 $w_2> 0$ . La empresa quiere minimizar sus costes de producción cuando produce y> 0 unidades de la producción.

Tengo en un problema encontrado que MC: $$MC=\frac{\partial c}{\partial y}=w_1((\frac{w_2\alpha}{w_1(1-\alpha)})^{1-\alpha})+w_2((\frac{w_1(1-\alpha)}{w_2 \alpha})^\alpha)$$

Vemos que los costes marginales sólo dependen de $w_1$ y $w_2$ y, por tanto, no en y. Así tenemos que los costes marginales son constantes. Pero, ¿por qué es así? ¿Cuál es la interpretación económica? Creo que tal vez debería utilizar los rendimientos a escala?

Answer 1

Como los exponentes suman uno, la función de producción tiene rendimientos constantes a escala, lo que significa que, dados los precios de los factores, el coste total es lineal, lo que significa que su derivada (= coste marginal) es contante. Si se cambia el exponente 1-alfa por el beta, donde alfa+beta < 1, habrá rendimientos decrecientes a escala (pero sigue habiendo homotecia) y se obtendrá un coste marginal creciente.