El proceso del CIR es el siguiente
$$dr_t = (\alpha - \beta r_t)dt + \sigma \sqrt{r_t}dW_t.$$
Se puede demostrar que existe una solución única para esta EDE pero no es posible obtener una expresión para esa solución. Sin embargo, según Shreve (página 152) podemos obtener el valor esperado de la solución. Aplicando el lema de Ito con la función $f(t,x)=e^{\beta t}x$ obtenemos $$e^{\beta t}r_t = r_0 + \frac{\alpha}{\beta}(e^{\beta t} -1) + \sigma \int_0^t (e^{\beta t}-1)+ \sigma \int_0^t e^{\beta u} \sqrt{r_u}dW_u.$$ Así obtiene $$e^{\beta t}E [r_t] = r_0 + \frac{\alpha}{\beta}(e^{\beta t} -1)$$ porque dice que $$E \left[\sigma \int_0^t e^{\beta u} \sqrt{r_u}dW_u \right]=0.$$ Dice que la expectativa de una integral de Ito es cero, pero esto no siempre es cierto. Si $$E\left[ \int_0^T |\sigma e^{\beta u} \sqrt{r_u}|^2du \right]< \infty \tag*{($ \N - La estrella $)}$$ entonces el proceso $\{I_t\}:=\left\{\sigma \int_0^t e^{\beta u} \sqrt{r_u}dW_u ; 0 \leq t \leq T \right\}$ es una martingala y la expectativa es cero. Pero si ( $\star$ ) no es verdadera, entonces el proceso $\{I_t\}$ es sólo una martingala local, no necesariamente una martingala (verdadera) y la expectativa anterior puede no ser cero. Como no tenemos la expresión para la solución, no creo que la condición ( $\star$ ) puede verificarse. ¿Hay algún otro argumento que nos permita concluir que la expectativa es cero? ¿Conoces algún artículo/libro en el que se trate esta cuestión?
