Significado de la correlación de Pearson : Problema con $t$ -Estadística que aumenta con $N$

Question

Tengo dos activos que parecen no estar correlacionados (coeficiente de correlación = 6,3% utilizando una frecuencia mensual y 48 puntos de datos).

Quiero comprobar la importancia de la correlación. La hipótesis nula es que la correlación es nula, y si el valor p es inferior a 0,05 podemos rechazar la hipótesis nula (es decir, la correlación es significativamente diferente de 0, es decir, hay correlación).

Manteniendo la correlación constante (al 6,3%) observo que a medida que aumento $N$ (y así aumento $N-2$ grados de libertad) el valor p se reduce y finalmente será inferior a 0,05.

Estoy confundido, ¿por qué tener más $N$ ¿hacer que la correlación llegue a ser estadísticamente significativa, si la correlación real de los rendimientos sigue siendo baja?

Answer 1

La cuestión de la significación no tiene que ver con la correlación, sino con la precisión de la estimación. Si el valor estimado con más datos sigue estando cerca del mismo valor estimado con menos datos, eso significa que estás más seguro de que esa correlación está cerca de tu estimación.

Podemos probar la hipótesis de que la correlación es 0 con la misma facilidad que probar que la correlación es 1 o -1. Una forma de hacerlo es utilizar la prueba de Fisher $z$ -para una correlación estimada $\hat\rho$ la estadística de la prueba $z$ está dada por: $$ z = \frac{1}{2}\log\left(\frac{1+\hat\rho}{1-\hat\rho}\right) $$ y $z$ es aproximadamente normal con un error estándar $\frac{1}{\sqrt{N-3}}$ .

Como es lógico, aquí se puede observar que el error estándar disminuye a medida que tenemos más datos. Si los datos fueran simplemente más ruidosos, más datos nos darían una estimación de la correlación que convergería a 0. Sin embargo, si la correlación fuera baja pero no nula, más datos lo revelarían.