Conversión entre probabilidades de impago físicas y neutrales al riesgo

Question

En el modelo simple de riesgo de crédito estructural de Merton, la probabilidad física de impago viene dada por:

$$DD_p = \frac{\ln(A / D) + (\mu -0.5\sigma^2)T}{\sigma \sqrt{T}}$$

$$P=N(-DD_p)$$

Suponiendo que la distancia física al impago (DD) y P ya se han proporcionado, hay que convertir la probabilidad física de impago en probabilidad neutra de riesgo para derivar un diferencial de valor razonable.

La forma "estándar" de esta conversión en la literatura parece ser la siguiente: $$Q=N[N^{-1}(P) + \lambda R \sqrt T]$$ donde $\lambda$ es el ratio de Sharpe del mercado y R es la correlación de los rendimientos del mercado y de los activos.

Básicamente, la probabilidad física se transforma en un punto de la FCD, se añade una prima de riesgo y, a continuación, se vuelve a transformar la suma para llegar a la probabilidad de impago neutral al riesgo.

Mi pregunta es: ¿por qué no podemos simplemente introducir el tipo libre de riesgo (por ejemplo, el tipo del Tesoro) en la fórmula de la distancia al impago, ya que todos los activos tienen la misma deriva (r) según la medida neutral del riesgo?

$$DD_q = \frac{\ln(A / D) + (r -0.5\sigma^2)T}{\sigma \sqrt{T}}$$

$$Q=N(-DD_q)$$

¿Puede alguien indicarme qué es lo que falla en mi ingenua forma de pensar? Debe haber una buena razón por la que la literatura está tomando el enfoque más tortuoso anterior.

Answer 1

No soy un experto en este tema, pero aquí están mis dos centavos. Espero que si me equivoco alguien me corrija.

De las 2 relaciones que has escrito, vemos que $$DD_q = -N^{-1}(P) - \lambda R \sqrt{T}$$ o de forma equivalente $$\begin{align} DD_q &= DD_p - \lambda R \sqrt{T} \\ &= \frac{\ln(A/D)+((\mu-\lambda \sigma R) - 0.5\sigma^2)T}{\sigma \sqrt{T}} \end{align}$$ donde el tipo equivalente "sin riesgo" $r$ sería, $r := \mu - \lambda \sigma R$ .

Si el activo analizado es negociable, tiene razón en que $r$ debe representar el coste de llevar ese activo en ausencia de arbitraje. Sin embargo, si no hay forma de "comerciar" directamente con él -lo que podría ser el caso aquí, ya que $A$ representa el activos totales de una empresa hay que recurrir a suposiciones. Los supuestos utilizados aquí son coherentes con la CAPM .

Denotación de las cantidades específicas de los activos mediante el índice $a$ y las cantidades específicas del mercado con $m$ En efecto, el CAPM escribe $$\begin{align} \Bbb{E}[r_a] &= r + \beta_m (\Bbb{E}[r_m] - r) \\ &= r + \rho_{a,m} \frac{\sigma_a}{\sigma_m} (\Bbb{E}[r_m] - r) \\ &= r + \rho_{a,m} \sigma_a \lambda_m \end{align}$$ de donde $$r = \Bbb{E}[r_a] - \rho_{a,m} \sigma_a \lambda_m$$ o utilizando las anotaciones anteriores $$r = \mu - \lambda \sigma R$$

En consecuencia, el método al que se refiere consiste simplemente en especificar una forma particular para el precio de mercado del riesgo basándose en los supuestos del CAPM.