¿Es esta una derivación válida de FWL?

Question

$Y = X\hat{\beta} + Z\hat{\gamma} + e\\ (X'X)^{-1}X'Y = (X'X)^{-1}X'X\hat{\beta} + (X'X)^{-1}X'Z\hat{\gamma} + (X'X)^{-1}X'e\\ \hat{\beta}_{short} = \hat{\beta} + \hat{\delta}\hat{\gamma} $

donde $\hat{\beta}_{short}$ es el estimador OLS del coeficiente de $X$ del modelo mal especificado que omite $Z$ y $\hat{\delta}$ es de la regresión $Z = X\hat{\delta} + \eta$ .

Esto parece infinitamente más sencillo que las pruebas FWL que he visto en los libros de texto de econometría. Entonces, ¿qué es lo que falta o lo que está mal?

Answer 1

El resultado no es el Teorema de Frisch-Waugh-Lovell . Más bien, el resultado muestra el alcance de Sesgo de la variable omitida .

El teorema de Frisch-Waugh-Lovell afirma que el residuos de la regresión de $\boldsymbol y$ en $\boldsymbol Z$ con una regresión sobre el residuos de la regresión de $\boldsymbol X$ en $\boldsymbol Z$ , da $\boldsymbol{{\hat\beta}}$ . Para decirlo de otra manera, dejemos que $\boldsymbol{M}$ sea el fabricante residual. Entonces la regresión de $\boldsymbol{M_Z y}$ en $\boldsymbol{M_Z X}$ da $\boldsymbol{{\hat\beta}}$ . La ecuación es: $$\boldsymbol{\hat\beta} = \left(\boldsymbol{X}'\boldsymbol{M_Z}'\boldsymbol{M_Z X}\right)^{-1}\boldsymbol X'\boldsymbol{M_Z}' \boldsymbol{M_Z y}$$ Obsérvese que la matriz del fabricante residual es simétrica e idempotente.

Un resultado análogo es válido para $\boldsymbol{\hat\gamma}$ .