Supongamos por ahora que trabajamos en un entorno de volatilidad estocástica (SV), $$ dS_r = \sqrt{v_r} S_r dW $$ y $$ dv_r = a(v_r,r)dr + b(v_r,r) dZ $$ con $$ dWdZ = \rho dr $$
Dejemos que $C(S_t,v_t,t)$ denotan el precio SV de un siniestro en la actualidad. Definamos la vega (varianza) como el cambio en el valor de la opción si el tiempo $t$ la varianza es impactada/desplazada por alguna cantidad $\varepsilon$ : $$ v_t \rightarrow v_t' = v_t + \varepsilon $$ Ahora veamos qué ocurre con la varianza instantánea para todos los $u>t$ después de este choque: \begin{align} v_u' &= v_t + \varepsilon + \int_t^u d(v_r + \varepsilon) \\ &= v_t + \varepsilon + \int_t^u dv_r \\ &= v_u + \varepsilon \end{align}
Mi pregunta es, ¿no es entonces $$ C(S_t,v_t + \varepsilon,t) = E_t [ F(S_T)] $$ donde ahora $$ dS_r = \sqrt{v_r + \varepsilon}\, S_r dW $$ y $$ dv_r = a(v_r,r)dr + b(v_r,r) dZ $$ o es \begin{align} d(v_r + \varepsilon) &= a(v_r + \varepsilon,r)dr + b(v_r + \varepsilon,r) dZ \\ &\neq dv_r \end{align} ¿el argumento anterior es incorrecto?
