Teoría de la microeconomía e integración por partes (prueba).

Question

Entiendo esta parte: $\int x^\prime (z)F(z) dz+\int x(z)f(z)dz=\int zf(z)dz \rightarrow \int \frac {dx}{dz} F(z) dz+\int x(z)\frac {dF(z)}{dz} dz=\int zf(z)dz \rightarrow x(z)F(z)= \int_{0}^z tf(t)dt$

Entonces, el autor dice obtener la siguiente solución por integración por partes. $x(z)=z-\frac {\int_0^zF(t)dt}{F(z)}$

No sé qué término debo integrar para llegar a ese resultado.

Gracias de antemano.

Answer 1

Integrar la $f(t)$ (una primitiva de la cual es $F(t)$ ) y diferenciar el $t$ . Esto da como resultado

$$\begin{align*} x(z) F(z) & = \int_{0}^{z}{t f(t)dt} \\ & = \big[ t F(t) \big ]_{t=0}^{t=z}-\int_{0}^{z}{F(t)dt} \\ & = z F(z)-\int_{0}^{z}{F(t)dt}. \end{align*}$$

Dividiendo por $F(z)$ en ambos lados da el resultado.