PDE de las opciones de barrera y lookback

Question

En el libro de Shreve, obtiene la EDP de opción de barrera por

Función de pago $$V(T) = (S(T) - K)^+\mathbb{II}_{\{S_{\textrm{max}}(T) > B\}}$$ A continuación, utilice la fórmula de fijación de precios neutral al riesgo y la propiedad de Markov de $S(t),$ tenemos su valor $$V(t) = v(t,S(t))$$ para alguna función $v(t,x),$ entonces podemos tener la EDP de barrera respecto a $v(t,x).$

Pero en la opción de mirar hacia atrás, considera $S_{\textrm{max}}(t)$ como una nueva variable $y$ y la función de valor se convierte en $v(t,x,y),$ aunque finalmente $v(t,x,y)$ se puede cambiar en una variable $u(t,z).$

Así que mi pregunta es, ¿por qué hay una variable en barrera pero dos variables en lookback, o simplemente son equivalentes?

Answer 1

La diferencia es que la opción de barrera es débilmente dependiente de la trayectoria mientras que la opción de retroceso es fuertemente dependiente de la trayectoria.

En el caso de una opción barrera knock-out, condicionada a que la opción esté viva en el momento de la fijación de precios, no es necesario llevar ninguna variable de estado adicional, excepto el precio actual del activo. El pago no depende directamente del nivel de $S_{\text{max}}(0, T)$ excepto a través del indicador de supervivencia. Dado el punto actual $S(t)$ y condicionado a que no haya un knock-out previo se puede calcular la densidad conjunta de $\left( S(T), S_{\max}(t, T) \right)$ . La información sobre $S_{\max}(0, t)$ es irrelevante para el pago en ese caso.

En el caso de una opción lookback, el pago depende directamente de $S_{\max}(0, T)$ . Por tanto, hay que introducir una segunda variable de estado y obtener una EDP bidimensional. Resulta que la dimensión de esta última puede reducirse en el caso de una opción lookback ya que el precio es homogéneo de grado uno en las dos variables de estado $S(t)$ y $S_{\max}(0, t)$ .

Véase también el capítulo 22 "An Introduction to Exotic and Path-Dependent Derivatives" en Wilmott (2006) "Paul Wilmott on Quantitative Finance", Wiley.