Correspondencias de mejor respuesta teoría de juegos

Question

Estoy estudiando la teoría de los juegos y hay una diapositiva en la que no entiendo muy bien cómo se dedujo exactamente cada valor en particular:

Para $BR_L(q)$ y $BR_c(q)$ . Entiendo que son funciones de $q$ y $p$ ya que la mejor respuesta de un jugador depende de la estrategia que elija el otro, pero no sé exactamente por qué se toman valores de $1$ y $[0,1]$ y $0$ para los valores específicos de $q$ y $p$ . ¡Si alguien pudiera explicar la derivación de estos, ayudaría mucho!

Answer 1

Dejemos que $\pi_L(p,q) = 3pq + p(1-q) + 2(1-p)(1-q)$ denotan la retribución esperada del conferenciante. La mejor respuesta se define como $BR_L(q) = \arg\max_{p \in [0,1]}\pi_L(p,q)$ . Ahora bien, tenga en cuenta que \begin{align} \frac{\partial \pi_L(p,q)}{\partial p} \begin{cases} > 0 \quad& \text{for } q > 1/4,\\ = 0 & \text{for } q = 1/4,\\ < 0 & \text{for } q < 1/4. \end{cases} \end{align} Para $q>1/4$ los pagos son estrictamente crecientes en $p$ tal que $p = 1$ es óptima. Para $q=1/4$ los pagos son constantes en $p$ de manera que cualquier $p \in [0,1]$ es óptima. Para $q<1/4$ los pagos son estrictamente decrecientes en $p$ tal que $p = 0$ es óptimo. La misma lógica se aplica a El Catalán.