Segunda variación de un movimiento browniano bajo un proceso de difusión de saltos

Question

Estoy tratando de resolver el ejercicio 15.3 del libro Los conceptos y la práctica de las finanzas matemáticas donde se pide

Supongamos que el $\log S_t$ sigue un movimiento browniano a lo largo del periodo $[0, 1]$ excepto en el momento $0.5$ donde salta por $x$ . ¿Cuáles son las primeras y segundas variantes de $\log S_t$ durante el período $[0, 1]$ .

La primera variación se determina fácilmente como $\infty$ como en un movimiento browniano continuo.

Un movimiento browniano continuo debe tener también su segunda variación igual a $T$ Así que aquí -sin tener en cuenta el salto- sería igual a $T = 1$ . Pero a diferencia de la primera variación, la segunda es un valor finito, por lo que debería ser susceptible de la presencia del salto.

De hecho, la solución que aparece en el libro indica que la segunda variación es igual a $1.25$ .

¿De dónde viene este resultado?

Answer 1

$$ X_t = B_t 1_{t<0.5} + (x+ B_t) 1_{t\geq 0.5} = B_t + x1_{t\geq 0.5}$$

$$ [X, X]_t = [B, B]_t + x^2 1_{t\geq 0.5} = t+ x^2 1_{t\geq 0.5}$$

(el autor probablemente pretendía utilizar $0.5$ como tamaño del salto también)