Derivación en la página 99 de Salanie, The Economics of Taxation (2ª edición)

Question

A partir de la página 98 de "La economía de la fiscalidad" de Salanie (2ª edición), explica

Para comprobarlo con más rigor, definamos la utilidad del contribuyente $w$ cuando afirma tener productividad $w'$ : $$ V(w', w) = u(C(w'), Y(w'), w). $$ Para que el mecanismo sea revelador, $V$ debe ser máxima en $w' = w$ . Supongamos que todas las funciones son diferenciables y que los ingresos $Y$ es positivo. Entonces tenemos la condición necesaria de primer orden $$ \frac{\partial V}{\partial w'} (w, w) = 0 \tag{NC1} $$ y la condición necesaria de segundo orden $$ \frac{\partial^2 V}{\partial w'^2}(w,w) \leq 0 \tag{NC2}. $$ Diferenciando (NC1) obtenemos $$ \frac{\partial^2 V}{\partial w'^2} + \frac{\partial^2 V}{\partial w' \partial w} = 0 $$ ...

Mi pregunta es la siguiente: ¿Cómo llegamos a la última ecuación de (NC1)? Si diferencio $$ \frac{\partial V}{\partial w'} (w', w) $$ con respecto a $w$ ¿No termino con $\frac{\partial^2 V}{\partial w'\partial w}$ ? Asimismo, si diferencio con respecto a $w'$ Termino con $\frac{\partial^2 V}{\partial w'^2}$ . ¿Qué me falta?

Answer 1

¿Por qué estás haciendo $\frac{\partial^2 V}{\partial w'^2}$ ?

Aunque se diga que $w^{'}=w$ en el óptimo, se debe tomar diferente cuando se diferencia para las condiciones de primer orden. Por lo tanto, se diferencia en función de $w^{'}$ y $w$ .

Answer 2

Creo que es la regla de la cadena. Dejemos que $w'(w) = w$ ya que buscamos mecanismos reveladores. La condición $$ \frac{\partial V}{\partial w'} (w'(w),w) = 0 $$ es válida para todos los $w$ porque el mecanismo es revelador para todos los tipos. Como el diferencial (no parcial) con respecto a $w$ del lado derecho es 0, lo mismo ocurre con el diferencial de la talla de la izquierda, por lo tanto $$ \frac{d \frac{\partial V}{\partial w'} (w'(w),w)}{d w} = 0. $$ Según la regla de la cadena $$ \frac{d \frac{\partial V}{\partial w'} (w'(w),w)}{d w} = \frac{d w'(w)}{d w}\cdot \frac{\partial^2 V}{\partial^2 w'} (w'(w),w) + \frac{d w}{d w}\cdot \frac{\partial^2 V}{\partial w \partial w'} (w'(w),w), $$ que de forma simplificada es $$ \frac{\partial^2 V}{\partial^2 w'} (w'(w),w) + \frac{\partial^2 V}{\partial w \partial w'} (w'(w),w). $$