Axioma de independencia de la lotería cuando $\alpha \ge 1$

Question

Al estudiar la preferencia por las loterías, aprendimos el axioma de la independencia, que dice así:

La relación de preferencia $\succsim$ en el espacio de las loterías simples $\mathscr{L}$ satisface el axioma de independencia si para todo $L$$L^\prime$$L^{\prime \prime} \in \mathscr{L}$ y $\alpha \in (0,1)$ tenemos

$$L \succsim L^\prime \iff \alpha L + (1 - \alpha) L^{\prime \prime} \succsim \alpha L^{\prime} + (1 - \alpha) L^{\prime \prime} $$

¿Y si $\alpha \ge 1$ ? Supongo que será una extensión rápida para el caso de $\alpha \in (0,1)$ pero no sé cómo mostrarlo.

Answer 1

Para entender por qué $\alpha$ debe estar limitado en $(0,1)$ Hay que contemplar el significado de la expresión

$$\alpha L$$

cuando $L$ es una "lotería". ¿Cómo se denota matemáticamente una lotería? Los autores no se ponen de acuerdo al respecto: por ejemplo, la forma Jahle y Reny definir una lotería (una "apuesta" en su terminología), una lotería puede escribirse como un vector cuyos elementos son vectores bivariados en sí mismos:

$$L=\{(p_1,w_1),...,(p_n, w_n)\}$$

donde $p_i$ son probabilidades, y $w_i$ son resultados cuantitativos.

Pero MasColell, Whinston y Green definimos una lotería como un vector que contiene sólo las probabilidades :

$$L=\{p_1,...,p_n\}$$

por lo que el "Espacio de la Lotería" es un espacio vectorial, que incluye vectores que sólo contienen probabilidades.

Pero en ambos casos, los autores dejan claro que una expresión como $\alpha L$ cuando llega el momento de traducirlo en una operación matemática, denota una multiplicación de sólo el probabilidades vinculado con $L$ por otra probabilidad , $\alpha$ . Se trata de aplicar la reducción de las loterías compuestas a las simples. JR lo describen como "el responsable de la toma de decisiones sólo se preocupa por efectivo probabilidades de cada resultado". MWG lo llaman la "premisa consecuencialista", que les permite trabajar sólo con loterías simples.

Por lo tanto, no es válido considerar $\alpha$ en el exterior $(0,1)$ porque se define como una probabilidad (los límites abiertos se utilizan para evitar la trivialidad en el enunciado del axioma de Independencia).

Además, lo anterior implica que $\alpha$ no interactúa directamente con los resultados cuantitativos de la lotería/juego...

...lo que apunta a una dirección de investigación (quizás interesante, quizás no): ¿Qué podemos decir (si es que hay algo), si empezamos a retocar el resultados ¿vinculado a una lotería? ¿Se interpondrá la "actitud hacia el riesgo" y nos impedirá sacar conclusiones generales? ¿O no?