Mostrando que el producto marginal del capital es independiente de la escala de producción

Question

La imagen se explica por sí misma. Para añadir algo de contexto, estoy aprendiendo la teoría del crecimiento de Solow-Swan y mi profesor dijo que el producto marginal no cambiará si tanto el capital como el trabajo aumentan a la misma escala.

Puedo entender intuitivamente que tiene sentido, pero al intentar aplicar una ecuación sencilla (la azul, la definición de producto marginal constante) no funciona.

Es que, o no estoy diferenciando parcialmente de forma correcta, o toda la teoría está equivocada.

No veo nada malo en lo que he hecho, pero ¿por qué no son lo mismo?

Answer 1

Hay algo bastante sutil que significa que tu línea final está equivocada (pero es un error fácil de cometer y difícil de detectar).

Para calcular el MPK, debemos diferenciar la función de producción con respecto al nivel actual de capital: $\partial F/\partial K$ .

Pero en su última línea, no está diferenciando con respecto al nivel actual de capital (que es $\tilde{K}=\lambda K$ ). En cambio, está diferenciando con respecto a $K$ que es una fracción $1/\lambda$ de la cantidad actual de capital.

Si calculamos la derivada con respecto a $\tilde{K}\equiv \lambda K$ en lugar de sólo $K$ entonces todo funciona como debería:

$$\frac{\partial F(\lambda K,\lambda L)}{\partial \lambda K}=\frac{\partial (8(\lambda K)^{1/2}(\lambda L)^{1/2})}{\partial \lambda K}=4(\lambda K)^{-1/2}(\lambda L)^{1/2}=4\frac{\sqrt{L}}{\sqrt{K}}.$$

Esto no depende de $\lambda$ por lo que el MPK es efectivamente independiente de la escala de la economía. QED