Tres preguntas sobre la aplicación de la volatilidad local (basadas en el artículo de Andreasen, Huge "Volatility interpolation")

Question

Soy nuevo en el área de la interpolación de la volatilidad local y estoy tratando de hacer una implementación decente para calcular la superficie de la volatilidad local a partir de los precios de las opciones utilizando la metodología básica del artículo "Volatility interpolation" de Andreassen, Huge combinado con algunos artículos y resultados posteriores.

1. En el artículo se asume que todos los tipos son cero. ¿Cuál es la forma más natural de generalizarlo a las condiciones estándar del mercado donde los tipos no son cero?

2. En el artículo se calcula una aproximación constante a la superficie de volatilidad local. Luego se calculan muchos precios de opciones de compra nuevos, utilizando la superficie calculada, mediante un procedimiento de diferencias finitas. A partir de estos precios de las opciones veo que muchos autores utilizan la ecuación de Dupire para calcular de nuevo la superficie de volatilidad local mediante diferencias finitas. ¿Por qué calcular de nuevo la superficie de volatilidad local, cuando ya teníamos la superficie constante a trozos (u opcionalmente lineal)? ¿O es esa superficie demasiado rugosa para cualquier aplicación seria y necesitamos puntos en una superficie mucho más suave? ¿O me estoy perdiendo algo muy obvio aquí?

3. Una pregunta más general. Supongamos que llego hasta el punto de poder calcular la volatilidad local correspondiente a todas las opciones de la parrilla. ¿Cómo extraigo entonces los valores de esta superficie para utilizarla en otras aplicaciones? Sólo tenemos valores en los puntos de la cuadrícula. ¿Estará bien utilizar la interpolación lineal? Seguro que introduce el arbitraje, pero si la rejilla es densa, el error no debería ser demasiado grave, o

En cuanto a la pregunta 1 :

• Intenté convertir los precios de las opciones de mercado en los precios de las opciones de mercado en una economía con tipos cero. Esto es posible mediante un reescalado adecuado de los niveles de strike en la fórmula Black. Pero de alguna manera no sé si esa es la forma adecuada de hacer las cosas.

• Entonces traté de pensar en reemplazar el subyacente con el proceso de valor hacia adelante para que su término de deriva sea cero. Sin embargo, no se trata de un solo proceso forward, sino de uno por vencimiento (ya que el vencimiento forward cambia en cada vencimiento cuando avanzamos en el tiempo). Así que el forward actual hace saltos discretos en cada vencimiento ya que se refiere a diferentes vencimientos. Esto dará lugar a cosas extrañas en el esquema de diferencias finitas del artículo de Andersen ya que uno de los puntos de valoración en el cociente de diferencias finitas para la derivada T de las opciones en la fórmula de Dupiere utilizará una versión del proceso forward y el otro punto de valoración otra. Esto no me pareció correcto.

Answer 1

Vale, he investigado un poco, he preguntado y he obtenido algunas respuestas a la mayoría de mis preguntas. Como puede ser de interés general para otras personas, presento aquí mis conclusiones.

1. Cómo transferir los datos del mercado (precios de las opciones) del mundo real a la economía simplificada de tipo cero (utilizada en el artículo de J. Andreasen, B. Huge) de ida y vuelta. Tenemos un activo subyacente $S(t)$ que satisface $$ \frac{dS(t)}{S(t)} = (r(t) - d(t)) \, dt + \sigma(t, S) \, dW(t), \quad S(0) = S_0, $$ donde $W(t)$ es un movimiento browniano, $r(t)$ es la tasa corta, $d(t)$ es la rentabilidad de los dividendos y $\sigma(t, S)$ es la superficie de volatilidad local (desconocida hasta ahora). Introducimos la notación $$ \mu(t) = r(t) - d(t), \quad F(0,t) = S_0 \cdot \exp(\int_0^t \mu(s) \, ds)$$ para la deriva y el valor de avance en el momento $t$ visto desde el tiempo $0$ . Ahora introduzca la variable $$ X(t) = \frac{S(t)}{F(0,t)}. $$ Utilizando el lema de Ito obtenemos (me salto esos cálculos. Es sólo una aplicación estándar del lema de Ito para un cociente) $$ dX(t) = X(t) \cdot \sigma(t,S) \, dW(t), $$ donde $W(t)$ es el mismo movimiento browniano que el utilizado para $S$ . Lo escribimos como $$ dX(t) = X(t) \cdot \hat{\sigma}(t,X(t)) \, dW(t), $$ donde $$ \hat{\sigma}(t,X(t)) = \sigma(t, X(t) \cdot F(0,t)). $$ Así que una vez que hemos calculado $\hat{\sigma}(t,X(t))$ podemos conseguir $\sigma(t,S)$ retrocediendo $$ \sigma(t,S(t)) = \hat{\sigma}(t, S(t) / F(0,t)). $$ Queda un problema y es que queremos que los precios de las opciones para la variable $X(t)$ cuando se dan los precios de mercado para la variable $S(t)$ . Sin embargo, esto se obtiene fácilmente mediante un reescalado. Escribamos la expresión del precio de compra negro (sin descuento) como el valor esperado habitual $$ \begin{eqnarray*}E[\textrm{max}(X(t) - K,0)] &=& E[\textrm{max}(\frac{S(t)}{F(0,t)} - K, \, 0)] \\ &=& \frac{1}{F(0,t)}E[\textrm{max}(S(t) - K \cdot F(0,t), \, 0)]. \end{eqnarray*} $$ Las expectativas $E[\textrm{max}(S(t) - K \cdot F(0,t), \, 0)]$ son sólo los precios de las opciones de compra negras para el subyacente $S(t)$ con huelga $K \cdot F(0,t)$ que son observables en el mercado. Así que utilizando esta relación podemos ir y venir entre los precios de las opciones en el mercado real y el mercado de tipo cero.

Así que usando esto podemos hacer o configurar en la economía de tasa cero, calcular la superficie local de vol para $X(t)$ y luego volver a $S(t)$ utilizando las relaciones anteriores.

2. Esta aproximación de un paso de la superficie de volatilidad local, como esperaba, no era un buen candidato para la superficie de vol local real y no satisface la ecuación de Dupire. Uno debería construirla y utilizarla como herramienta para obtener una rejilla de precios de opciones más densa que luego podemos utilizar para construir los puntos de muestra reales de la superficie de volatilidad local (utilizando la ecuación de Dupires).

3. La cuestión final de la interpolación de la malla densa de puntos en la superficie de vol local es todavía desconocida para mí. Por supuesto, dependerá de la aplicación en la que utilicemos la superficie de vol local construida. Si hay que calcular diferentes hijos de griegos necesitamos una interpolación suave de algún tipo. Pero si sólo necesitamos valores aproximados, entonces supongo que la interpolación lineal podría ser suficiente.