Estoy tratando de averiguar algún tipo de inmunización utilizando un modelo de factores que desarrollé para los tipos de interés. Este es el problema básico. Digamos que tenemos una cartera de bonos que contiene $N$ bonos con pesos $x_i$ y un pasivo. Llamemos al valor actual del pasivo $P_L$ . Supondré que los precios de los bonos vienen dados por $$P_i=\Sigma_{t=1}^T F_{it}e^{-r_tt}$$ donde $F_{it}$ es el pago futuro del bono $i$ y $r_t$ es el tipo de interés en el momento $t$ . Ahora el modelo factorial para la estructura temporal de los tipos de interés puede escribirse $$\Delta r_t=\Sigma_{j=1}^k \beta_{jt} \Delta f_j +\epsilon_t$$ para $k$ factores independientes y término de error normalizado $\epsilon_t$ . Estoy asumiendo que tengo desplazamientos pequeños pero no necesariamente paralelos en la estructura de términos, quiero una condición de primer orden para la inmunización de los factores. ¿Puede alguien ayudarme?
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El valor actual es $$ P_i= \sum_{t=1}^T F_{i,t} \exp(-r_t t), $$ ¿qué ocurre si los tipos cambian a $r_t + \Delta r_t$ entonces el nuevo precio es $$ P_i^{new} = \sum_{t=1}^T F_{i,t} \exp(-(r_t+\Delta r_t) t). $$ por la serie exponencial $\exp(x)\approx 1 + x$ podemos escribir $$ P_i^{new} - P_i =: \Delta P_i \approx -\sum_{t=1}^T F_{i,t} \Delta r_t t. $$ Observando los desplazamientos de estos tipos tenemos una especie de ajuste de la duración de la clave.
Si puedes descomponer tu responsabilidad $P_L$ en la forma es también (denotar los flujos de caja por $F_t$ entonces puede tratar de encontrar cantidades $Q_i$ tal que $$ |\sum_{t=1}^T (Q_i F_{i,t} - F_t) \Delta r_t t| -> Min $$
Por lo general, los movimientos de la curva de rendimiento se descomponen por el nivel, la pendiente y la curvatura o el paralelo, la inclinación y las curvas de la estructura temporal. Estos 3 factores pueden explicar más del 95% del 98% de la varianza total. A veces se utiliza un segundo punto de curvatura y la explicación alcanza el 99%. En lugar de aproximarse numéricamente, ¿por qué no ajustan el modelo de Svensson o Nelson Siegel y lo utilizan como factores?
