algunas preguntas sobre el precio de una opción de venta "asset or nothing" con un precio de ejercicio igual a St

Question

Estoy trabajando en un ejercicio de tarea donde el objetivo es el precio de un activo o nada puesto con K = St, offcourse la fórmula normal podría ser utilizado St * N(-d1), pero me preguntaba si la fijación de precios del activo haciendo una cartera de réplica con los mismos griegos acumulativos también era posible. En este contexto, tengo algunas preguntas.

• Si dos carteras tienen las mismas grietas, ¿significa esto que el precio debe ser el mismo por no arbitraje?

• ¿Por qué utilizar los griegos para valorar una opción exótica y no la fórmula "normal", por qué los resultados serían mejores (ya que ambos se derivan bajo el marco de Scholes negro)? ¿Se necesitan, por ejemplo, menos supuestos?

• ¿Son correctas mis fórmulas para los griegos? Las he derivado y comprobado varias veces (ver anexo), pero no estoy seguro de que sean correctas.

• Cuando se busca una cartera con griegas acumulativas iguales al activo o nada puesto hasta dónde se puede apalancar de forma realista antes de que los defectos del marco de Scholes negro hagan que la respuesta no sea fiable. Por ejemplo, supongo que una posición larga en 300 calls con strike 2600 y una posición corta en 300 calls con strike 2605 sería problemática?

Por supuesto, he intentado buscar en Google, pero las respuestas que encuentro me parecen contradictorias.

Answer 1

Puede encontrar las respuestas a la mayoría de sus preguntas en el La serie de Taylor y/o teoría de la aproximación artículos, pero a continuación añadiré un poco más de detalle (por orden):

Un ejemplo simplista sería $y=a+bx$ vs $z=bx$ Por lo tanto, que los griegos sean iguales no significa necesariamente que los precios sean iguales. Pero se puede utilizar el argumento de la cobertura/replicación, aunque necesita más supuestos - por ejemplo, financiación, comercio sin fricciones, etc.

Se preferirá la fórmula analítica si está disponible y es factible. Suponiendo que las griegas se deriven basándose en la misma fórmula analítica (que creo que es el caso), o bajo supuestos similares, entonces el enfoque basado en las griegas puede ser, en el mejor de los casos, una aproximación, lo que no es ideal. Pero si no se tiene la fórmula analítica, o es lenta de evaluar, entonces se puede emplear alguna aproximación (por ejemplo, ajuste polinómico, modelos más sencillos), aunque estos requerirán más entradas que las griegas (algunos de los mejores no requieren griegas en absoluto). Los enfoques basados en griegas (por ejemplo, las series de Taylor) suelen utilizarse para aproximar cuánto cambiará el precio cuando cambie la entrada. Podrían servir para evaluar la necesidad/evaluar la eficacia de la cobertura, o para simular las pérdidas y ganancias, etc.

Para comprobar las fórmulas, compare sus fórmulas con los resultados/derivaciones aquí y comuníquenos si ve alguna diferencia que no pueda explicar. Para poner, por favor, ponga $\phi=-1$ y se puede ignorar el $r_f$ que representa el tipo de interés en moneda extranjera (en FX) o la rentabilidad de los dividendos (acciones).

Si piensa utilizar las series de Taylor, entonces sería el error de truncamiento - si ha tenido en cuenta las griegas de todos los órdenes, incluidas las griegas cruzadas (por ejemplo, $\frac{\partial}{\partial S \partial \sigma}$ ), y los movimientos del mercado son pequeños, entonces la estimación sería más precisa, ¡pero entonces la precisión depende del uso!

Espero que esto ayude.