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La suma de dos movimientos brownianos independientes es también un movimiento browniano ( que se demuestra formalmente aquí )
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En primer lugar, resolvemos para $Y_t$ . Observamos que $d\bigl( Y e^{\lambda t} \bigr) = dY e^{\lambda t} + \lambda Y e^{\lambda t}$ .
\begin{align} dY_t &= -\lambda Y_t dt + \sigma_Y \rho dZ_{1t} + \sigma_Y \sqrt{1 - \rho^2} dZ_{2t} \\ &= -\lambda Y_t dt + \sigma_Y dW_t \\ dY_t + \lambda Y dt &= \sigma_Y dW_t \\ d\bigl( Y_t e^{\lambda t} \bigr) &= e^{\lambda t} \sigma_Y dW_t \\ \Bigl[ Y_t e^{\lambda t} \Bigr]^T_0 &= \sigma_Y \int^T_0 e^{\lambda t} dW_t \\ Y_T &= \sigma_Y e^{-\lambda T}\int^T_0 e^{\lambda t} dW_t \\ \end{align}
Donde he definido $W_t = \rho Z_{1t} + \sqrt{1 - \rho^2} Z_{2t}$ . Se trata de una distribución gaussiana con una expectativa de 0 y una varianza ${\frac {\sigma^2_Y} {2 \lambda}} \bigl( 1 - e^{-2\lambda T} \bigr)$ procedente del Ito isometría
Ahora, al introducir esto y resolver para $X_t$ :
\begin{align} dX_t &= Y_t dt + \sigma_X dZ_{1t} \\ &= \bigl( \sigma_Y e^{-\lambda t}\int^t_0 e^{\lambda s} dW_s \bigr) dt + \sigma_X dZ_{1t} \\ \Bigl[ X_t \Bigr]^T_0 &= \sigma_Y \int^T_0 e^{-\lambda t} \bigl( \int^t_0 e^{\lambda s} dW_s \bigr) dt + \sigma_X Z_{1t} \end{align}
Podemos resolver $\int^T_0 e^{-\lambda t} \bigl( \int^t_0 e^{\lambda s} dW_s \bigr) dt$ utilizando integración estocástica por partes , como se hace aquí , utilizando $A = \int^t_0 e^{-\lambda s} ds$ y $B = \int^t_0 e^{\lambda s} dW_s$ da
\begin{align} \Bigl[ A_t \cdot B_t \Bigr]^T_0 &= \int^T_0 e^{-\lambda t} \bigl( \int^t_0 e^{\lambda s} dW_s \bigr) dt + \int^T_0 \bigr( \int^t_0 e^{-\lambda s} ds \bigr) e^{\lambda t} dW_t \\ \int^T_0 e^{-\lambda t} \bigl( \int^t_0 e^{\lambda s} dW_s \bigr) dt &= -\int^T_0 \bigr( \int^t_0 e^{-\lambda s} ds \bigr) e^{\lambda t} dW_t + \bigl( \int^T_0 e^{-\lambda s} ds \bigr) \cdot \bigl( \int^T_0 e^{\lambda t} dW_t \bigr) \\ &= -{\frac {1} \lambda}\int^T_0 (e^{\lambda t} - 1) dW_t + {\frac {1} \lambda} (1 - e^{-\lambda T}) \int^T_0 e^{\lambda t} dW_t \\ &= -{\frac {1} \lambda}\int^T_0 (e^{\lambda t} - 1) - e^{\lambda t}(1 - e^{-\lambda T}) dW_t\\ &= {\frac {1} \lambda}\int^T_0 \bigl(1 - e^{-\lambda (T-t)} \bigr) dW_t \end{align}
Y sustituyendo esto en lo anterior, tenemos \begin{align} X_T &= {\frac {\sigma_Y} \lambda}\int^T_0 \bigl(1 - e^{-\lambda (T-t)} \bigr) dW_t + \sigma_X Z_{1T} \end{align}
Es la suma de dos gaussianas (correlacionadas), por lo que también es una gaussiana como se requiere
- De lo anterior, tenemos
\begin{align} \Bigl[ Y_s e^{\lambda s} \Bigr]^{T+t}_t &= \sigma_Y \int^{T+t}_t e^{\lambda s} dW_s \\ Y_{T+t} &= e^{-\lambda T} Y_t + e^{-\lambda (T+t)} \sigma_Y \int^{T+t}_t e^{\lambda s} dW_s \end{align}
Acondicionamiento en $Y_t$ Ahora podemos encontrar $X_{T+t}$ como en el caso anterior
\begin{align} {\mathbb E}\bigl[(X_{T+t} - X_t \bigr)] &= {\mathbb E}\bigl[ \int_t^{T+t} dX_s \bigr] \\ &= {\mathbb E}\bigl[\int^{T+t}_t Y_s ds + \int^{T+t}_t \sigma_X dZ_{1s} \bigr]\\ &= {\mathbb E}\bigl[\int^{T+t}_t Y_s ds\bigr]\\ &= {\mathbb E}\bigl[\int^{T}_0 Y_{u+t} du\bigr] \\ &= {\mathbb E}\bigl[\int^{T}_0 \Bigl( e^{-\lambda u} Y_t + e^{-\lambda (u+t)} \sigma_Y \int^{u+t}_t e^{\lambda s} dW_s \Bigr) du \bigr] \\ &= {\mathbb E}\bigl[\int^{T}_0 e^{-\lambda u} Y_t du \bigr]\\ &= {\frac 1 {\lambda}} Y_t \bigl( 1 - e^{-\lambda T} \bigr) \end{align}
(donde he cambiado las variables de $s$ a $u = s - t$ ) que tiene sentido - $Y_t$ es de reversión media, por lo que esperamos que los valores futuros estén más cerca de cero que los actuales
\begin{align} {\mathbb E}\bigl[(X_{T+t} - X_t \bigr)^2] &= {\mathbb E}\bigl[ \bigl( \int_t^{T+t} dX_s \bigr)^2 \bigr] \\ &= {\mathbb E}\bigl[\Bigl(\int^{T+t}_t Y_s ds + \int^{T+t}_t \sigma_X dZ_{s1} \Bigr)^2 \bigr]\\ &= {\mathbb E}\bigl[\bigl( \int^{T+t}_t Y_s ds \bigr)^2 + \int^{T+t}_t \sigma_X^2 dt + 2 \int^{T+t}_t Y_s ds \int^{T+t}_t \sigma_X dZ_{1s} \bigr]\\ &= {\frac {Y_t^2} {\lambda^2}} \bigl( 1 - e^{-\lambda T} \bigr)^2 + \sigma_X^2 T + 2 {\mathbb E}\bigl[ \int^{T+t}_t Y_s ds \int^{T+t}_t \sigma_X dZ_{1s} \bigr] \end{align}
Para mayor claridad, desgloso el último término por separado: \begin{align} {\mathbb E}\bigl[ \int^{T+t}_t Y_s ds \int^{T+t}_t \sigma_X dZ_{1s} \bigr] &= {\mathbb E}\bigl[ \int^T_0 Y_{u+t} du \int^T_0 \sigma_X dZ_{u1} \bigr] \\ &= {\mathbb E}\bigl[ \int^T_0 \Bigl( e^{-\lambda u} Y_t + e^{-\lambda (u+t)} \sigma_Y \int^{u+t}_t e^{\lambda s} dW_s \Bigr) du \int^T_0 \sigma_X dZ_{1u} \bigr] \\ &= {\mathbb E}\bigl[ \int^T_0 \Bigl( e^{-\lambda (u+t)} \sigma_Y \int^{u+t}_t e^{\lambda s} dW_s \Bigr) du \int^T_0 \sigma_X dZ_{1u} \bigr] \\ &= {\mathbb E}\bigl[ \int^T_0 \Bigl( e^{-\lambda (u+t)} \sigma_Y \int^{u+t}_t e^{\lambda s} \rho dZ_{1u} \Bigr) du \int^T_0 \sigma_X dZ_{1u} \bigr] \\ &= {\frac {\rho \sigma_Y} {\lambda}} {\mathbb E}\bigl[ \int^T_0 \bigl( 1 - e^{-\lambda T} \bigr) dZ_{1u} \int^T_0 \sigma_X dZ_{1u} \bigr] \\ &= {\frac {\rho \sigma_X \sigma_Y} {\lambda}} \int^T_0 \bigl( 1 - e^{-\lambda T} \bigr) du\\ &= {\frac {T \rho \sigma_X \sigma_Y} {\lambda}}\bigl( 1 - e^{-\lambda T} \bigr) \end{align}
y si lo introducimos en el bloque anterior, tenemos \begin{align} {\mathbb E}\bigl[(X_{T+t} - X_t \bigr)^2] &= {\frac {Y_t^2} {\lambda^2}} \bigl( 1 - e^{-\lambda T} \bigr)^2 + \sigma_X^2 T + 2 {\frac {T \rho \sigma_X \sigma_Y} {\lambda}} \bigl( 1 - e^{-\lambda T} \bigr) \end{align}
Pensando en el comportamiento de este proceso como $T \to \infty$ vemos que el $( 1 - e^{-\lambda T})$ términos van a cero y nos quedamos con una varianza de $\sigma_X^2 T$ que es simplemente la varianza del movimiento geométrico browniano estándar.
Como $T \to 0$ , $( 1 - e^{-\lambda T}) \to \lambda T$ que anulan todos los $\lambda$ por lo que la expresión se convierte en \begin{align} {\frac 1 T} \lim_{T \to 0} {\mathbb E}\bigl[(X_{T+t} - X_t \bigr)^2] &= Y_t^2 T + \sigma_X^2 - 2 \rho \sigma_X \sigma_Y T \end{align}
por lo que, como era de esperar, la variación a corto plazo en $t$ aumenta con el nivel de $Y_t$ y disminuye si los procesos están más correlacionados positivamente.
¡Vaya pregunta!
