¿Cómo se derivó la función de Cobb Douglas?

Question

En economía y econometría, la función de producción Cobb-Douglas es una forma funcional particular de la función de producción, ampliamente utilizada para representar la relación tecnológica entre las cantidades de dos o más insumos (especialmente capital físico y trabajo) y la cantidad de producción que puede ser producida por esos insumos. La forma Cobb-Douglas fue desarrollada y probada contra evidencia estadística por Charles Cobb y Paul Douglas durante 1927–1947.

¿Cómo obtenemos la fórmula $f(K,L)=AK^aL^{1-a}$? ¿Cómo obtenemos que $K$ debe elevarse a un factor "$a$" y esto debe multiplicarse por $L$ elevado a un factor "$1-a$"? ¿Cuál es la demostración de esta fórmula? No puedo encontrar respuesta a estas preguntas, he buscado mucho.

Actualización. Encontré un artículo que muestra cómo deducirlo, pero no entiendo algunos pasos, ¿podría alguien ayudarme? Aquí va el enlace:

https://www.studocu.com/en-gb/document/kings-college-london/mathemtics-for-economists/lecture-notes/cobb-douglas-revision/4229598/view

En estos términos, las suposiciones hechas por Cobb y Douglas pueden ser declaradas de la siguiente manera:

1. Si desaparece el trabajo o el capital, entonces lo hará también la producción.
2. La productividad marginal del trabajo es proporcional a la cantidad de producción por unidad de trabajo.
3. La productividad marginal del capital es proporcional a la cantidad de producción por unidad de capital.

Resolviendo. Dado que la producción por unidad de trabajo es $\frac{P}L$ , la suposición 2 dice que:

$$\frac{P}{L} = \frac{P}L $$

para alguna constante . Si mantenemos K constante ($K = K_0$), entonces esta ecuación diferencial parcial se convierte en una ecuación diferencial ordinaria:

$$\frac{dP}{dL} = \frac{P}L $$

Esta ecuación diferencial separable puede resolverse reorganizando los términos e integrando ambos lados:

$$\int \frac{1}P \, dP = \int \frac{1}L \, dL$$ $$ln(P)=*ln(cL)$$ Por ejemplo, ¿de dónde proviene la constante "c" aquí?, luego siguiendo: $$ln(P)=ln(cL^)$$ $$P(L,K_0)=C_1(K_0)L^$$ donde $C_1(K_0)$ es la constante de integración y la escribimos como una función de $K_0$ ya que podría depender del valor de $K_0$.

Answer 1

¿Cuál es la prueba de esta fórmula?

En realidad no hay una prueba de cuál debería ser la función de producción. Hay infinitas funciones de producción posibles y para descubrir cuál es la más apropiada necesitamos hacer algunas observaciones empíricas. En diferentes casos, diferentes funciones de producción son apropiadas. Cobb-Douglas es una función de producción popular pero también he visto muchas otras.

Lo que proporcionas a continuación en tu actualización no es tanto una prueba de que la producción deba ser Cobb-Douglas, sino una prueba de que si hacemos algunas suposiciones específicas sobre la producción (que aunque bastante generales puede que no siempre sean necesarias en realidad) obtenemos una función que es Cobb-Douglas.

$ln(P)=ln(cL)$ Por ejemplo aquí, ¿de dónde viene la constante "c"?,

La $c$ es una constante de integración. Siempre que tengas integrales indefinidas debes agregar alguna constante $c$ a la solución porque las constantes se eliminan durante la diferenciación y nunca podemos saber si había o no alguna constante previamente, entonces después de integrar siempre agregamos $c$.

En este caso, cuando integras esta ecuación diferencial separable, la solución realmente se vería así:

$$\ln(P)= \alpha (\ln(L) + C) \implies\ln(P)= \alpha \ln(cL) | C= \ln(c) $$

(en realidad, las variables deberían estar incluso en valores absolutos - pero como la función solo está definida para valores no negativos de $P,L$ y $K$ podemos omitirlos).

Answer 2

Si uno lee el artículo original de Cobb y Douglas (1928), https://www.aeaweb.org/aer/top20/18.1.139-165.pdf,

encontrará al final de la página 152 que los autores enfatizan que tuvieron en cuenta dos propiedades que se habían discutido teóricamente en el pasado:

1. Que la producción exhibe rendimientos constantes a escala, lo que significa que duplicar todos los insumos duplicará la producción.

2. Que ambos insumos de producción son necesarios para la producción, por lo que la salida debe ser cero cuando alguno de los dos es cero.

Para cumplir con la segunda propiedad, eligieron la forma multiplicativa. Dado esto, para cumplir con la primera propiedad tuvieron que hacer que la suma de los exponentes fuera igual a la unidad, por lo que $a$ y $1-a$. Tenemos $0 para que la producción responda positivamente a cada insumo.

La existencia de la constante $A$ en $Q = AK^aL^{1-a}$ se encarga de dos cosas: problemas de "unidades de medición" pero también, el promedio de cualquier otra fuerza que pueda contribuir a la producción.

Answer 3

Al igual que dijo 1muflon, realmente no hay nada sagrado o verdadero sobre la función de producción de Cobb-Douglas. Es solo una función simple que tiene algunas propiedades deseables (por ejemplo, que las productividades marginales son iguales a las productividades medias).

Las cosas que se parecen a "demostraciones de la función de producción de Cobb-Douglas" que puedas encontrar serán demostraciones de que esta función cumple ciertas propiedades, o que es la única función que cumple ciertas propiedades, no que describe perfectamente la producción en la realidad, lo cual no es cierto.

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