Ejercicio anticipado de opciones americanas sobre acciones de dividendos

Question

Estoy leyendo el capítulo 15 de Opciones, futuros y otros derivados de John Hull.

En concreto, 15.12 Dividendos Opciones de compra americanas.

Estoy atascado mientras pruebo el hecho de que ejercer una opción americana con acciones de dividendos justo antes de la última fecha de dividendos es óptimo, en lugar de mantenerla hasta el vencimiento.

El inversor obtendrá $S(t_n)-K$ cuando ejerce antes de la fecha ex-dividendo. Después de la fecha ex-dividendo, el precio de las acciones bajaría a $S(t_n) - D_n$ . Y se sabe que el límite inferior de esta opción es $S(t_n)-D_n-Ke^{-r(T-t_n)}$ .

Así, utilizando la prueba por contradicción, se deriva lo siguiente. $$S(t_n)-D_n-Ke^{-r(T-t_n)}\geqslant S(t_n)-K$$ $$-D_n-Ke^{-r(T-t_n)}\geqslant - K$$ $$D_n + Ke^{-r(T-t_n)}\leqslant K$$ $$D_n \leqslant K\left[1-e^{-r(T-t_n)}\right]$$

A partir de la última ecuación, el libro concluye que no puede ser óptimo hacer ejercicio en el momento $t_n$ (la fecha ex-dividendo).

Sin embargo, no entiendo cómo podemos concluir así y la implicación del lado derecho de la última ecuación.

¿Puede alguien ayudarme a entender esta prueba?

Answer 1

$$S(t_n)-D_n-Ke^{-r(T-t_n)}\geqslant S(t_n)-K$$ significa que if LHS (límite inferior del precio de la opción) $\geqslant$ RHS (lo que se consigue si se hace ejercicio antes de tiempo), no puede ser óptimo hacer ejercicio. Este es un assumption no es una afirmación que sea verdadera o que deba sostenerse en cualquier circunstancia.

El resto es sólo una reformulación para tener $D$ en un lado. Por lo tanto, si $$D_n \leqslant RHS$$ no es óptimo hacer ejercicio a la hora $t_n$ (simplemente porque la primera ecuación dice que no lo es y nada cambió). Dicho esto, también es posible que $D_n > RHS$ . Especialmente si $T-t_n$ es pequeño y/o el dividendo es grande. Partiendo de la primera ecuación, también se puede argumentar que existe una $S(t_n)$ que justifica el ejercicio temprano.