¿Cómo calcular la probabilidad de que 2 opciones terminen en dinero con diferentes fechas de vencimiento?

Question

Supongamos que hago una operación que consiste en comprar una opción de venta y 2 opciones de compra del mismo subyacente pero con diferentes fechas de vencimiento y diferentes strikes.

Ejemplo de comercio:

Long call - strike @ $100 -  exp 3/17/2015
    Long put - strike @ $110 - exp: 3/30/2015
cost of trade = $15

- Current price = $90, current date = 1/1/2015

Si las operaciones vencieran el mismo día, la operación obtendría beneficios netos si el precio del subyacente al vencimiento es mayor que $105 . La probabilidad de que la operación sea rentable sería igual a la probabilidad de que el subyacente esté por encima de $105 en la fecha de caducidad.

Por desgracia, las operaciones no vencen el mismo día, lo que complica las cosas. Cómo puedo calcular la probabilidad de que la operación sea rentable cuando las opciones vencen en fechas diferentes?

Es
= (probability underlying > $105 @ 3/17/2015) * (probability underlying > $105 @ 3/30/2015)

Considero que lo anterior no es correcto ya que no da cuenta de la relación entre ambas probabilidades. Tal vez una ecuación más correcta sería:

= (probability underlying > $105 @ 3/17/2015) * (probability underlying > $105 starting from 3/17/2015 to 3/30/2015 with a starting price of $105)

Incluso esta ecuación parece ser incorrecta porque si la opción vence en la fecha anterior por encima del $105 , entonces puede expirar a continuación $105 en la fecha de vencimiento posterior.

Answer 1

Primero un poco de notación, dejemos

• $S_1$ y $S_2$ y ser el precio de las acciones en las fechas de vencimiento;
• $K_1$ y $K_2$ los precios de la huelga;
• y $C$ sea el coste.

entonces el beneficio viene dado por

$$\textrm{profit} = 2 \times (S_1 - K_1)^+ + (K_2 - S_2)^+ - C.$$

En la primera fecha de vencimiento se pueden distinguir tres casos mutuamente excluyentes:

1. $S_1 > K_1 + \frac{C}{2}$ la totalidad de la operación es rentable, esto ocurre con probabilidad $P\left(S_1 > K_1 + \frac{C}{2}\right)$ ;
2. $K_1 \leq S_1 \leq K_1 + \frac{C}{2}$ Una parte de la inversión se recupera;
3. $S_1 < K_1$ La opción de compra expiró sin valor.

Si las opciones de compra expiran fuera del dinero (el tercer caso), la opción de venta tiene que compensar la inversión y la probabilidad de que esto ocurra es $P(S_2 < K_2 - C \:\lvert\: S_1 < K_1)$ . El segundo caso es el más complejo:

$$P\left(K_2 - S_2 > C - 2(S_1 - K_1) \:\lvert\: K_1 \leq S_1 \leq K_1 + \frac{C}{2}\right).$$

Podemos simplemente en estos como son mutuamente excluyentes así:

$$P(\textrm{profit > 0}) = P\left(S_1 > K_1 + \frac{C}{2}\right) + P\left(K_2 - S_2 > C - 2(S_1 - K_1) \:\lvert\: K_1 \leq S_1 \leq K_1 + \frac{C}{2}\right) + P(S_2 < K_2 - C \:\lvert\: S_1 < K_1).$$

No veo la forma de simplificar sin más suposiciones esto pero si tienes un modelo, en el que puedes calcular las probabilidades condicionales, calcular el resultado debería ser sencillo.