Puesto que le interesa la mano de obra, supongamos para simplificar que el stock de capital es fijo en $\bar{K}$ . Entonces, la elección óptima de capital y trabajo viene dada por:
$$\frac{L^*}{a}=\frac{\bar{K}}{b}$$
Por lo tanto, el trabajo óptimo es:
$$L^* = \frac{a}{b}\bar{K}$$
El producto marginal del trabajo depende de cómo trabajo real se refiere a trabajo óptimo :
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Caso 1: $L = L^*$ . En el diagrama estándar de Leontief, con $L$ en el eje horizontal y $K$ en el eje vertical, se trata de cualquier punto en el camino óptimo (cuya función comienza en el origen y tiene pendiente $\frac{b}{a}$ ). En este caso, $\dfrac{dQ}{dL}=0$ .
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Caso 2: $L > L^*$ . Esto es cuando la combinación de factores es debajo de el $\frac{b}{a}$ camino. En este caso, $\dfrac{dQ}{dL}=0$ .
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Caso 3: $L < L^*$ . Esto es cuando la combinación de factores es por encima de el $\frac{b}{a}$ camino. La solución aquí depende de la distancia $L$ es de $L^*$ :
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Caso 3a: $L^*-L > 1$ . Este es quizás el caso más probable. En este caso, el cambio de mano de obra deja aún niveles bajos de trabajo. En este escenario, $MP_L = \dfrac{1}{a}$ . Este resultado proviene de la comparación de la producción antes del cambio de mano de obra: $Q_0=\dfrac{L_0}{a}$ frente a después del cambio: $Q_1=\dfrac{L_0 +\Delta L}{a}$ . A partir de aquí, concluimos que $\dfrac{dQ}{dL}=\dfrac{1}{a}$ . Obsérvese que, en este caso, todavía hay margen para aumentar la producción mediante el aumento de la mano de obra (es decir, todavía estamos dentro del caso 3).
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Caso 3b: $L^*-L = 1$ . Aquí, el cambio de trabajo nos deja en el camino óptimo. El cambio es igual que en el caso 3a. La diferencia es que el aumento de la mano de obra deja sin aumentar la producción. Volvemos entonces al caso 1.
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Caso 3c: $L^*-L < 1$ . En este caso, el cambio de mano de obra es mayor que el que realmente necesitamos. Así, pasamos de estar en el caso 3 a estar en el caso 2. Por lo tanto, el cambio no es $\dfrac{1}{a}$ pero igual a $\dfrac{1}{a} \times (L^*-L)$ . En otras palabras, el cambio es proporcional a la cantidad exacta de mano de obra que necesitamos para estar en la trayectoria óptima.
A continuación puede verse un ejemplo gráfico:
![enter image description here]()
Para cualquier trabajo igual o superior a $L_0$ , los aumentos adicionales en $L$ no cambia $q_0$ . Sin embargo, cuando estamos por encima del camino óptimo (es decir $K>\bar{K}$ ), el trabajador marginal adicional sí se suma a la producción. Se puede ver que, dependiendo de lo lejos que esté este punto del óptimo, surgen los tres escenarios del caso 3.
Si está interesado (en mi búsqueda personal a favor de la Economía Abierta), aquí está el código R del gráfico:
plot(c(0,5), c(0,5), type = "n", xlab = "Labour", ylab = "Capital", yaxt='n', xaxt='n', bty='l', mgp=c(1,1,0))
segments(0, 0, 4.7, 4.7,lwd=2)
text(4.9, 4.8, expression(frac(b,a)),cex = 1.3)
points(2, 2, type="p", pch=19, col="black", bg=NA, cex=1.5)
segments(2, 2, 2, 5,lwd=2.5)
segments(2, 2, 4.7, 2,lwd=2.5)
text(4.9, 2, expression(q[0]),cex = 1.3)
text(2.4, 1.75, expression(paste("(",L[0],",",bar(K),")")),cex = 1.3)
points(3.5, 2, type="p", pch=19, col="black", bg=NA, cex=1.5)
text(3.5, 2.3, expression(L>L[0]),cex = 1.3)
points(2, 3.5, type="p", pch=19, col="black", bg=NA, cex=1.5)
text(2.4, 3.5, expression(K>bar(K)),cex = 1.3)
