Cambio de muestreo en el movimiento browniano conductor de un proceso CIR

Question

Tengo volatilidad impulsada por un proceso de CIR:

$$\mathrm{d}v_t = \kappa (\bar{v}-v_t)\mathrm{d}t + \omega \sqrt{v_t}\mathrm{d}W_v\text{.}\tag{1}$$

Estoy trabajando con varias aproximaciones (complicadas) de este proceso (por ejemplo, QE del El papel de Andersen ). Dado $v(t)$ Estas aproximaciones muestran un $v(t+\epsilon)$ . Sin embargo, además de tener una $v(t+\epsilon)$ Me gustaría probar

$$\int_t^{t+\epsilon} \mathrm{d}W_v = W_v(t+\epsilon)-W_v(t)\text{.}\tag{2}$$

Pregunta: Dado $v(t)$ y $v(t+\epsilon)$ ¿Cómo puedo tomar una muestra de la distribución condicional de (2)?

Answer 1

Se puede utilizar el esquema de discretización de Euler-Maruyama para el CIR, "fijo" para $v$ positividad, para conseguir:

$$ v(t+\epsilon) -v(t)\approx \kappa (\bar{v} -v(t)^+)\epsilon + \omega \sqrt{v(t)^+} (W_v(t+\epsilon) - W_v(t)). $$

Así, una aproximación del incremento browniano, cuando $v(t)$ y $v(t+\epsilon)$ se dan, es:

$$ W_v(t+\epsilon) - W_v(t) \approx \frac{v(t+\epsilon) -v(t) - \kappa (\bar{v} -v(t)^+)\epsilon}{\omega \sqrt{v(t)^+} } \;\;\;\;\;({\rm when} \; v(t)\not= 0)$$

Nota: En el contexto del modelo Heston, se suele eliminar la integral de $\sqrt{v(t)}dW_v(t) $ (integral contra $W_v$ ) utilizando la igualdad exacta (ecuación (10), página 7 en El documento de Andersen ):

$$ \int_t^{t+\epsilon} \sqrt{v(u)}dW_v(u) = \omega^{-1} \left(v(t+\epsilon) -v(t) - \kappa \bar{v} \epsilon - \kappa\int_t^{t+\epsilon} v(u)du \right),$$

tras emplear la descomposición de Cholesky en $W_X$ , dejando que se calcule una integral frente a un nuevo movimiento browniano $W$ que es independiente de $v$ , $\int_t^{t+\epsilon} \sqrt{v(u)}dW(u)$ .

Answer 2

Editar: Esto es probablemente incorrecto.

El esquema exponencial cuadrático es el mejor que he visto, ya que converge en la distribución y es bastante rápido, ¡así que buena elección!

Cuando $\eta$ es constante se puede simplificar la integral $$ \int_t^{t+\varepsilon}\eta dW(u)=\eta\int_t^{t+\varepsilon}dW(u)=\eta\left(W(t+\varepsilon)-W(t)\right) $$

En el esquema QE se utiliza una variable uniforme estándar o una variable normal estándar. Denotémoslas como $U_V$ y $Z_V$ respectivamente. Sabemos que los cambios en un proceso de Wiener se distribuyen normalmente de la siguiente manera $$ \Delta W\equiv W(t+\varepsilon)-W(t)\sim \mathcal{N}(0,\varepsilon) $$ donde el segundo argumento es la varianza. Así que en la simulación podemos encontrar $$ \Delta W=\begin{cases} \sqrt{\varepsilon}\cdot Z_V&\text{if }\psi\leq\psi_c\\ \sqrt{\varepsilon}\cdot\Phi^{-1}(U_V)&\text{if }\psi>\psi_c \end{cases} $$