¿Qué es la derivada de Radon-Nikodym en el modelo de Heston?

Question

Tengo claro que $$ \frac{dQ}{dP} = e^{-\lambda W_T-\frac{\lambda^2}{2}T}$$ es la derivada de Radon-Nikodym que define el cambio de medida en el marco descrito por Black y Sholes. Pero, ¿cuál es su contrapartida en el marco de Heston?

Estaba pensando que debería tener la misma forma, con la excepción de que $\lambda$ y $W_T$ son ahora procesos bidimensionales. ¿Estoy en lo cierto? En este caso, ¿podría $\frac{dQ}{dP}$ ser bidimensional o unidimensional?

Answer 1

Dejemos que \begin{align*} \mathrm{d}S_t&=\mu S_t\mathrm{d}t+\sqrt{v_t}S_t\mathrm{d}B_{S,t}, \\ \mathrm{d}v_t&=\kappa(\bar{v}-v_t)\mathrm{d}t+\xi\sqrt{v_t}\mathrm{d}B_{v,t}, \end{align*} donde $\mathrm{d}B_{S,t}\mathrm{d}B_{v,t}=\rho\mathrm{d}t$ .

El precio de mercado del riesgo (o núcleo de Girsanov o ratio de Sharpe) es ${\varphi}_t=\left(\frac{\mu-r}{\sqrt{v_t}},\frac{\lambda \sqrt{v_t}}{\xi}\right)$ . Entonces, Teorema de Girsanov sugiere \begin{align*} A_t=\frac{\mathrm{d}\mathbb Q}{\mathrm{d}\mathbb P}= \exp\bigg(&-\int_0^t \frac{\mu-r}{\sqrt{v_s}}\mathrm{d}B_{S,s} -\int_0^t \frac{\lambda\sqrt{v_s}}{\xi}\mathrm{d}B_{v,s} + \int_0^t \frac{ (\mu-r)\lambda\rho}{\xi}\mathrm{d}s\\ &-\frac{1}{2}\int_0^t \left(\frac{(\mu-r)^2}{v_s}+\frac{\lambda^2v_s}{\xi^2} \right)\mathrm{d}s\bigg). \end{align*} Este proceso $A_t$ es una martingala y resuelve $\text{d}A_t=-\varphi_tA_t\text{d}\mathbf{B}_t$ , donde $\mathbf{B}_t=\left(B_{S,t},B_{v,t}\right)$ .

El factor de descuento estocástico correspondiente es $M_t=e^{-rt}A_t$ .

En el caso unidimensional (modelo Black-Scholes), se tiene $\varphi_t=\frac{\mu-r}{\sigma}$ y \begin{align*} A_t=\frac{\mathrm{d}\mathbb Q}{\mathrm{d}\mathbb P}= \exp\bigg(- \frac{\mu-r}{\sigma}B_{t}-\frac{1}{2}\left(\frac{\mu-r}{\sigma}\right)^2 t\bigg). \end{align*}