¿Cómo derivar la ecuación de Black-Scholes con dividendos?

Question

Pregunta: El Ecuación de Black-Scholes sin dividendo viene dada por $$\frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2}\sigma^2S^2\frac{\partial^2 V}{\partial S^2} + rS \frac{\partial V}{\partial S} -rV = 0.$$ (Intenté derivar la ecuación en mi entrada anterior .)

Si asumimos que "con la tasa de dividendos $D$ ', entonces la ecuación de Black-Scholes se convierte en $$\frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2}\sigma^2S^2\frac{\partial^2 V}{\partial S^2} + (r-D)S \frac{\partial V}{\partial S} -rV = 0.$$ ¿Cómo se obtiene esto?

Trabajando hacia atrás y asumiendo la derivación de mi post anterior, deberíamos tener $$d\Pi = \frac{\partial V}{\partial t} dt + \frac{\partial V}{\partial S} dS + \frac{1}{2}\sigma^2S^2\frac{\partial^2 V}{\partial S^2}dt - \Delta S - D\Delta Sdt.$$ Pero no entiendo por qué podemos añadir el término en $d\Pi.$

Answer 1

Suponemos que el proceso del precio de las acciones $\{S_t,\,t>0\}$ satisface, bajo la medida de probabilidad del mundo real $P$ una SDE de la forma \begin{align*} dS_t=S_t\big((\mu-q)dt+\sigma dW_t\big), \end{align*} donde $\{W_t, \, t >0\}$ es un movimiento browniano estándar. En este caso, tenemos que considerar el activo de retorno total $e^{qt}S_t$ es decir, el activo con los pagos de dividendos invertidos en la misma acción subyacente. Consideramos una cartera de autofinanciación localmente libre de riesgo de la forma \begin{align*} \pi_t =\Delta_t^1 \big(e^{qt}S_t\big) + \Delta_t^2 V_t, \end{align*} donde $V_t$ es el precio de la opción. Entonces, \begin{align*} d\pi_t &= \Delta_t^1 d\big(e^{qt}S_t\big) + \Delta_t^2 dV_t\\ &= \Delta_t^1 e^{qt}\big(q S_t dt + dS_t \big) + \Delta_t^2\left(\frac{\partial V}{\partial t}dt + \frac{\partial V}{\partial S}dS_t + \frac{1}{2}\frac{\partial^2 V}{\partial S^2} \sigma^2S_t^2 dt\right)\\ &=\left[\mu\Delta_t^1 e^{qt} S_t + \Delta_t^2\left(\frac{\partial V}{\partial t} + (\mu-q) S_t \frac{\partial V}{\partial S} + \frac{1}{2}\frac{\partial^2 V}{\partial S^2} \sigma^2S_t^2 \right)\right]dt \\ &\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad + \left(\sigma\Delta_t^1 e^{qt}S_t + \sigma \Delta_t^2 S_t \frac{\partial V}{\partial S}\right)dW_t. \end{align*} Desde $\pi_t$ está localmente libre de riesgo, suponemos que $\pi_t$ gana el tipo de interés sin riesgo $r$ Es decir, \begin{align*} d\pi_t = r \pi_t dt, \end{align*} Entonces, \begin{align*} &\left[\mu \Delta_t^1 e^{qt} S_t + \Delta_t^2\left(\frac{\partial V}{\partial t} + (\mu-q) S_t \frac{\partial V}{\partial S} + \frac{1}{2}\frac{\partial^2 V}{\partial S^2} \sigma^2S_t^2 \right)\right]dt \\ &\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad + \left(\sigma\Delta_t^1 e^{qt} S_t + \sigma \Delta_t^2 S_t \frac{\partial V}{\partial S}\right)dW_t= r \pi_t dt. \end{align*} En consecuencia, \begin{align*} \sigma\Delta_t^1 e^{qt}S_t + \sigma \Delta_t^2 S_t \frac{\partial V}{\partial S}=0, \tag{1} \end{align*} y \begin{align*} \mu e^{qt} \Delta_t^1 S_t + \Delta_t^2\left(\frac{\partial V}{\partial t} + (\mu-q) S_t \frac{\partial V}{\partial S} + \frac{1}{2}\frac{\partial^2 V}{\partial S^2} \sigma^2S_t^2 \right) = r(\Delta_t^1 e^{qt}S_t + \Delta_t^2 V_t). \end{align*} Desde $(1)$ , \begin{align*} \Delta_t^1 = -e^{-qt} \Delta_t^2 \frac{\partial V}{\partial S}. \end{align*} Entonces, \begin{align*} -\mu \Delta_t^2 S_t \frac{\partial V}{\partial S}+ \Delta_t^2\left(\frac{\partial V}{\partial t} + (\mu-q) S_t \frac{\partial V}{\partial S} + \frac{1}{2}\frac{\partial^2 V}{\partial S^2} \sigma^2S_t^2 \right) = r\Big(-\Delta_t^2 S_t\frac{\partial V}{\partial S} + \Delta_t^2 V_t\Big), \end{align*} o \begin{align*} \Delta_t^2\left(\frac{\partial V}{\partial t} -q S_t \frac{\partial V}{\partial S} + \frac{1}{2}\frac{\partial^2 V}{\partial S^2} \sigma^2S_t^2\right) &= r\Delta_t^2\Big(-\frac{\partial V}{\partial S} S_t + V_t\Big). \tag{2} \end{align*} Anulación del plazo $\Delta_t^2$ de ambos lados de $(2)$ obtenemos la ecuación de Black-Scholes de la forma \begin{align*} \frac{\partial V}{\partial t} + (r-q) S_t \frac{\partial V}{\partial S} + \frac{1}{2}\frac{\partial^2 V}{\partial S^2} \sigma^2S_t^2 -rV = 0. \end{align*}

Answer 2

La única diferencia en la derivación cuando se tiene una acción que paga dividendos radica en el valor de la cartera sin riesgo $\Pi_t$ .

El significado financiero aquí es la clave: para delta-hedge su opción usted compra una cantidad $\Delta$ de la acción $S$ y sólo la acción le está pagando el dividendo, por lo que tiene que añadir esta contribución en el tiempo a su cobertura. Por lo tanto, la variación del valor de la acción es: $$ dS=(\mu-q)Sdt+\sigma S dW. $$ Nos falta una cantidad $\Delta$ de la acción \begin{equation} \Pi=V-\Delta S. \end{equation} En el intervalo $dt$ la variación de la cartera viene dada, por tanto, por: \begin{equation} d\Pi= dV - \Delta dS - q \Delta S dt. \end{equation} El último término $ qS\Delta dt$ denota el valor añadido a la cartera debido a la rentabilidad de los dividendos.

Ahora, para el Lemma de Ito el valor de $dV$ es: $$ dV= \left( \frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2}\sigma^2S^2\frac{\partial^2 V}{\partial S^2} \right) dt + \frac{\partial V}{\partial S} dS. $$ Por último, se utiliza la condición de no arbitraje, que establece que una cartera sin riesgo tiene el mismo valor que un bono de cupón cero sin riesgo, es decir $d\Pi=r\Pi dt$ . Sustituyendo se obtiene finalmente: $$ \frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2}\sigma^2S^2\frac{\partial^2 V}{\partial S^2} + (r-q)S \frac{\partial V}{\partial S} -rV = 0 $$ donde se puede ver directamente el adicional $q$ plazo a la cobertura debido a la rentabilidad de los dividendos.