¿Cuál es la previsión óptima para el siguiente modelo de media móvil?

Question

Supongamos que tenemos un modelo MA(1) donde $y_t=\epsilon_t-\frac 1 2 \epsilon_{t-1}$ y $\epsilon_t$ son i.i.d. Quiero encontrar una previsión óptima de $y_{T+1}$ en forma de $Cy_T$ donde C es una constante. ¿Cuál es la mejor elección de C? He calculado que

$\begin{aligned} &y_{T+1}=E(y_{T+1}|I_T)=E(\epsilon_{T+1}-\frac 1 2 \epsilon_T|I_T)\\ &=E(\epsilon_{T+1}|I_T)-\frac 1 2E(\epsilon_T|I_T)\\ &=0-\frac 1 2\epsilon_T=-\frac 1 2 \epsilon_T\\ &\epsilon_T=y_T+\frac 1 2y_{T-1}+\frac 1 4 y_{T-2}+......+{1\over 2^{t-1}}y_1+0\\ &y_{T+1}=-\frac 12 \epsilon_T=-\frac 12y_T-\frac 1 4y_{T-1}-\frac 1 8 y_{T-2}-......-{1\over 2^{t}}y_1 \end{aligned}$

Answer 1

Su ecuación $y_{T+1} = E(y_{T+1}|I_T)$ claramente no tiene sentido.

En cualquier caso, $$ E(y_{T+1}|I_T) $$ es el mejor previsión de un paso adelante condicionada a $Y_1, \cdots, Y_T$ mientras que a usted se le pide que encuentre el mejor previsión lineal de un paso adelante dada $Y_T$ . En general, no son lo mismo. La mejor previsión lineal para $Y_{T+1}$ dado $Y_T$ es $$ \mu + \frac{\gamma(1)}{\gamma(0)} (Y_T - \mu), $$ donde $\mu$ es la media incondicional de la serie y $\gamma$ es la función de autocovarianza. En su caso, $\mu = 0$ y $\gamma$ es la de una serie MA(1) ( $\frac{\gamma(1)}{\gamma(0)} = \frac{\theta}{1+\theta^2}, \; \theta = \frac12$ ).

En general, la mejor previsión lineal para series temporales con covarianza estacionaria puede obtenerse resolviendo las ecuaciones de Yule-Walker.

Para la mejor previsión lineal, la suposición de que las innovaciones son i.i.d. es extraña.

Answer 2

EDIT: Había puesto esta respuesta antes y luego me di cuenta de que es la misma que el resultado del OP así que la borré. Ahora, veo que otras personas están afirmando que el resultado del OP es incorrecto y yo no estoy de acuerdo ( creo que es correcto ), así que estoy undeleting mi respuesta que está abajo. El resultado es el mismo que el que obtuvo el OP pero sólo se obtuvo de una manera ligeramente diferente.

Dado el proceso de AM para $y_{t}$ podemos sustituirlo por $t$ con $T+1$ y escribir $y_{T+1} = \epsilon_{T+1} - \frac{1}{2} \epsilon_{T}$

Además, como $y_{t} = \epsilon_{t} - \frac{1}{2} \times \epsilon_{t-1} = \epsilon_t(1 - \frac{1}{2} L) $

esto implica que, $\epsilon_t = \frac{y_{t}}{(1 - \frac{1}{2}L)}$ .

Entonces podemos utilizar la fórmula de una serie geométrica que da como resultado:

$\epsilon_t = y_{t} + 1/2 \times y_{t-1} + (1/2)^2 \times y_{t-2} + \ldots (1/2)^n \times y_{t-n} + \ldots $

Ahora, volviendo a la primera ecuación de arriba ( pero sustituyendo $t$ con $T$ ) tenemos $E(\epsilon_{T+1}|T) = 0$ y nos quedamos con $-1/2 \times \epsilon_T$ . Pero se acaba de demostrar que $\epsilon_T$ se puede escribir en términos de la serie infinita de anteriores $y_{t}$ . Así que ponemos eso para $\epsilon_T$ . Entonces, multiplicando eso por $-\frac{1}{2}$ resulta en la misma expresión que la de la OP.

OTRA EDICIÓN:

Además, para escribir la previsión como se pidió, tenemos que

$y_{T+1} = -\frac{1}{2} \sum_{i=0}^{\infty}(\frac{1}{2} L)^{k} y_{T}) = -\frac{1}{2} \left(\frac{y_T}{1 - \frac{1}{2} L }\right) = - \frac{y_T}{2 -L}$

Así que, $C = - \frac{1}{2 - L}$

Answer 3

Si tenemos un modelo MA(1): $y_t=\epsilon_t-\frac{1}{2}\epsilon_{t-1}$ donde $\epsilon_t\sim (0,\sigma^2)$ y $\forall_{t}E(\epsilon_t)=0$ entonces $\forall_{l\geq 1}E(y_{T+l})=0$ . La mejor opción de C es 0.