Opción sobre una opción

Question

Cuál es el valor del contrato (a pagar en el momento actual $t_0$ ) que le da a uno el derecho (pero no la obligación) de comprar una opción de compra Vanilla (con cierto strike K) a un precio predeterminado $p$ en el futuro $t_e$ ? El precio, $p$ se determina en $t_0$ y pagado en $t_e$ si el titular ejerce el derecho de compra de la opción. Supongamos que la acción es lognormal con volatilidad constante.

Answer 1

La prueba es relativamente larga, por lo que me centro en mostrar el razonamiento y los pasos principales.

Trabajamos con un modelo Black-Scholes. Sin pérdida de generalidad, nos centramos en una opción con strike $P$ para comprar en $t_e$ una opción de compra europea que vence en $T$ , escrito en una acción $S$ . Las expectativas se toman siempre con respecto a la medida neutral de riesgo $Q$ a menos que se indique lo contrario, y escribimos $E_t(\cdot):=E(\cdot|\mathscr{F}_t)$ .

El valor $C_t$ de una opción de compra europea es igual a: $$C_t=E_t\left(e^{-r(T-t)}\max\{S_T-K\}\right)$$

El valor $O_t$ de una opción sobre una opción de compra europea viene dada por: $$\begin{align} O_t &=E_t\left(e^{-r(t_e-t)}\max\{C_{t_e}-P,0\}\right) \\&=e^{-r(t_e-t)}E_t\left( \max\left\{E_{t_e}\left(e^{-r(T-t_e)}\max\{S_T-K,0\}\right)-P,0\right\}\right) \\&=e^{-r(T-t)}E_t \left(1_{S_{t_e}\geq S^\star}\left(E_{t_e}\left(1_{S_T\geq K}\left(S_T-K\right)\right)-\tilde{P}\right)\right) \\&=e^{-r(T-t)}E_t\left(E_{t_e} \left(1_{S_{t_e}\geq S^\star}1_{S_T\geq K}\left(S_T-K\right)-1_{S_{t_e}\geq S^\star}\tilde{P}\right)\right) \\\tag{1}&=e^{-r(T-t)}\left( E_t\left(1_{S_{t_e}\geq S^\star, S_T\geq K}S_T\right) -E_t\left(1_{S_{t_e}\geq S^\star, S_T\geq K}\right)K -E_t\left(1_{S_{t_e}\geq S^\star}\right)\tilde{P} \right) \end{align}$$ donde la última desigualdad proviene de la ley de expectativas iteradas, $\tilde{P}:=e^{r(T-t_e)}P$ es la huelga compuesta, y $S^\star$ es el valor de $s$ que resuelve la siguiente ecuación: $$\tag{2}c(s,T-t_e)-\tilde{P}=0$$ donde $c$ es el precio Black-Scholes no descontado de una opción de compra europea: $$c(s,\tau):=se^{r\tau}\Phi\left(\frac{\ln\frac{s}{K}+\left(r+\frac{\sigma^2}{2}\right)\tau}{\sigma\sqrt{\tau}}\right)-K\Phi\left(\frac{\ln\frac{s}{K}+\left(r-\frac{\sigma^2}{2}\right)\tau}{\sigma\sqrt{\tau}}\right)$$

En la práctica, la cantidad $S^\star$ puede calcularse resolviendo numéricamente la ecuación $(2)$ por ejemplo, por Newton-Raphson. Ahora, el tercer término de la ecuación $(1)$ es simplemente la probabilidad de que una variable log-normal esté por encima de $S^\star$ . Por analogía con el Black-Scholes clásico, esto es igual a: $$\tag{3.a}E_t\left(1_{S_{t_e}\geq S^\star}\right)=\Phi\left(\frac{\ln\frac{S_t}{S^\star}+\left(r-\frac{\sigma^2}{2}\right)(t_e-t)}{\sigma\sqrt{t_e-t}}\right)$$

Para calcular el segundo término de $(1)$ definimos $Z$ y $Y$ como dos variables aleatorias normales independientes con media cero y varianza unitaria para representar los incrementos brownianos de $t$ a $t_e$ y de ahí a $T$ . Tenga en cuenta que: $$\begin{align} 1_{\{S_{t_e}\geq S^\star,\ S_T\geq K\}} &=1_{\left\{S_te^{\left(r-\frac{\sigma^2}{2}\right)(t_e-t)+\sigma \sqrt{t_e-t}Z}\geq S^\star,\ S_te^{\left(r-\frac{\sigma^2}{2}\right)(T-t)+\sigma\left(\sqrt{t_e-t}Z+\sqrt{T-t_e}Y\right)}\geq K\right\}} \\\tag{4} &=1_{\left\{Z\leq \frac{\ln\frac{S_t}{S^\star}+\left(r-\frac{\sigma^2}{2}\right)(t_e-t)}{\sigma\sqrt{t_e-t}},\ X\leq \frac{\ln\frac{S_t}{K}+\left(r-\frac{\sigma^2}{2}\right)(T-t)}{\sigma\sqrt{T-t}}\right\}} \end{align}$$ donde $X$ es una tercera variable normal con la siguiente correlación con $Z$ : $$\rho:=\frac{\text{Cov}(\sqrt{t_e-t}Z+\sqrt{T-t_e}Y,Z)}{\sqrt{V(\sqrt{T-t_e}Z+\sqrt{t_e-t}Y)V(Z)}}=\sqrt{\frac{t_e-t}{T-t}}$$ Por lo tanto, el segundo término de la ecuación $(1)$ es la probabilidad normal bi-variable acumulada sobre $Z$ y $X$ parametrizados por su correlación $\rho$ : $$\begin{align} &E_t\left(1_{S_{t_e}\geq S^\star,\ S_T\geq K}\right) \\[6pt]\tag{3.b} &\quad=\Phi_\rho\left(\frac{\ln\frac{S_t}{S^\star}+\left(r-\frac{\sigma^2}{2}\right)(t_e-t)}{\sigma\sqrt{t_e-t}},\frac{\ln\frac{S_t}{K}+\left(r-\frac{\sigma^2}{2}\right)(T-t)}{\sigma\sqrt{T-t}}\right) \end{align}$$

Para el primer término de la ecuación $(1)$ cambiamos la medida de la expectativa a la medida del stock donde el numéraire es el stock $S$ que escribiremos $\mathcal{S}$ : $$\begin{align} E_t^\mathcal{Q}\left(1_{S_{t_e}\geq S^\star,\ S_T\geq K}S_T\right) &=E_t^\mathcal{S}\left(e^{r(T-t)}\frac{S_t}{S_T}1_{S_{t_e}\geq S^\star,\ S_T\geq K}S_T\right) \\ &=e^{r(T-t)}S_tE_t^\mathcal{S}\left(1_{S_{t_e}\geq S^\star,\ S_T\geq K}\right) \end{align}$$

El proceso Radon-Nikodym que implica este cambio de medida es: $$\begin{align} \left.\frac{d\mathcal{Q}}{d\mathcal{S}}\right|_{\mathscr{F}_t} &=e^{r(T-t)}\frac{S_t}{S_T} \\ &=e^{\frac{\sigma^2}{2}(T-t)-\sigma W^\mathcal{Q}_t} \end{align}$$ El "proceso de Novikov" para este cambio de medida es por tanto $\theta_t:=-\sigma t$ . Por lo tanto, el siguiente proceso es el movimiento browniano bajo la medida del stock: $$W^\mathcal{S}_t=W^\mathcal{Q}_t-\sigma t$$

Esto implica que la deriva del stock bajo esta nueva medida aumenta en $\sigma^2$ . Podemos aprovechar la ecuación $(4)$ pero esta vez sobre variables normales estándar $Z'$ , $Y'$ y $X'$ bajo la medida de las acciones $\mathcal{S}$ : $$\begin{align} 1_{\{S_{t_e}\geq S^\star,\ S_T\geq K\}} &=1_{\left\{Z'\leq \frac{\ln\frac{S_t}{S^\star}+\left((r+\sigma^2)-\frac{\sigma^2}{2}\right)(t_e-t)}{\sigma\sqrt{t_e-t}},\ X'\leq \frac{\ln\frac{S_t}{K}+\left((r+\sigma^2)-\frac{\sigma^2}{2}\right)(T-t)}{\sigma\sqrt{T-t}}\right\}} \\ &=1_{\left\{Z'\leq \frac{\ln\frac{S_t}{S^\star}+\left(r+\frac{\sigma^2}{2}\right)(t_e-t)}{\sigma\sqrt{t_e-t}},\ X'\leq \frac{\ln\frac{S_t}{K}+\left(r+\frac{\sigma^2}{2}\right)(T-t)}{\sigma\sqrt{T-t}}\right\}} \end{align}$$ Eso es: $$\begin{align} &E_t\left(1_{S_{t_e}\geq S^\star,\ S_T\geq K}S_T\right) = \\[6pt] \tag{3.c} & \quad e^{r(T-t)}S_t \Phi_\rho\left(\frac{\ln\frac{S_t}{S^\star}+\left(r+\frac{\sigma^2}{2}\right)(t_e-t)}{\sigma\sqrt{t_e-t}},\frac{\ln\frac{S_t}{K}+\left(r+\frac{\sigma^2}{2}\right)(T-t)}{\sigma\sqrt{T-t}}\right) \end{align}$$ Definir: $$\begin{align} d_1 & := \frac{\ln\frac{S_t}{K}+\left(r+\frac{\sigma^2}{2}\right)(T-t)}{\sigma\sqrt{T-t}} \\ d_1^\star & := \frac{\ln\frac{S_t}{S^\star}+\left(r+\frac{\sigma^2}{2}\right)(t_e-t)}{\sigma\sqrt{t_e-t}} \\[12pt] d_2 & := d_1-\sigma\sqrt{T-t} \\[18pt] d_2^\star & := d_1^\star-\sigma\sqrt{T-t} \end{align}$$ Entonces, combinando las ecuaciones $(1)$ , $(3.a)$ , $(3.b)$ y $(3.c)$ obtenemos el resultado deseado: $$O_t=S_t\Phi_\rho\left(d_1^\star,d_1\right)-e^{-r(T-t)} K\Phi_\rho\left(d_2^\star,d_2\right)-e^{-r(t_e-t)}P\Phi(d_2^\star) \quad \square$$

Como puede ver, es muy similar a la ecuación de Black-Scholes para una opción de compra:

• El tercer término de la fórmula de valoración de $O_t$ equivale al segundo término de la fórmula Black-Scholes, es decir, el descuento de la huelga $P$ veces la probabilidad de que se ejerza la opción sobre la opción;
• Los dos primeros términos combinados se parecen mucho al valor Black-Scholes de una opción de compra: esto es de esperar, porque la opción está escrita sobre una opción de compra. Sin embargo, las probabilidades $\Phi_\rho(d_1^\star,d_1)$ y $\Phi_\rho(d_2^\star,d_2)$ cuenta el valor del precio de las acciones en $t_e$ y $T$ . Esto se debe a que cuando se contrata una opción de compra vainilla, se conoce el precio de las acciones en la fecha de la operación $t$ pero no al vencimiento $T$ . En este caso, introducirá la opción en un momento futuro $t_e>t$ por lo que no se conoce el valor del subyacente ni al inicio $t_e$ ni a la expiración $T$ La distribución normal bivariable capta esta mayor incertidumbre.

Answer 2

Creo que se refiere a un opción compuesta . Su valoración bajo las hipótesis de Black-Scholes se indica en el enlace. La opción fue derivada por primera vez por Geske (1978), véase aquí el documento original .