Efecto de la variación de la tasa de descuento en el consumo -- (Samuelson, 1958)

Question

Estaba leyendo este documento por Paul Samuelson. Me desconcierta un fragmento de la página 470, columna de la izquierda. Aquí afirma que $\frac{\partial C_3}{\partial R_{t+1}}>0$ . Permítanme hacer una breve descripción de lo que significa exactamente esto y luego explicaré por qué no estoy de acuerdo.

En este modelo cada individuo vive 3 periodos. Cada persona produce 1 unidad de producto en el periodo 1, una unidad en el periodo 2 y ningún producto en el periodo 3. Sin embargo, puede intercambiar parte de su producción en los dos primeros períodos por el consumo en el último período, lo que da lugar a su patrón de consumo $(C_1, C_2, C_3).$

Supongamos que una persona se encuentra en el período 1 en el momento $t$ . Así que está en el período 2 en el momento $t+1$ y en el periodo 3 en el momento $t+2$ . Puede ganar un tipo de interés de $i_t$ sobre el ahorro en el momento $t$ para todos $t$ (es decir $i_t$ es el tipo de interés que se gana con los ahorros que se tienen desde hace tiempo $t$ al periodo $t+1$ ). Ahora defina $R_t=1/(1+i_t)$ para todos $t$ .

La afirmación de Samuelson es que $\frac{\partial C_3}{\partial R_{t+1}}>0$ . O lo que es lo mismo: $\frac{\partial C_3}{\partial i_{t+1}}<0$ . ¿Cómo puede ser esto cierto? Si $i_{t+1}$ sube (baja), sacrificando una fracción de $C_1$ y $C_2$ para aumentar $C_3$ es más (menos) rentable. Así que el sentido común sugeriría: $\frac{\partial C_3}{\partial R_{t+1}}<0 \Leftrightarrow \frac{\partial C_3}{\partial i_{t+1}}>0$ .

Samuelson no da ninguna prueba de su afirmación, pero afirma que se puede deducir de lo siguiente: "Por supuesto, estas funciones están sujetas a todas las restricciones de la moderna teoría del consumo del tipo utilidad ordinal o preferencia revelada. Así, con el consumo en cada período es un "bien superior", "

Por favor, ilumíneme. ¿Se equivoca Samuelson/me equivoco yo?

Answer 1

Consideremos el problema de maximización de la utilidad del individuo a lo largo de su vida. En esta etapa del trabajo, mientras que la función de utilidad "tiene las habituales curvas de indiferencia como escribe Samuelson, no se ha asumido nada sobre la forma de la función de utilidad intertemporal, por lo que el problema se plantea como

$$\max_{C_1,C_2,C_3}U(C_1,C_2,C_3),\;\;\; s.t.\;\;\; C_3 = \frac {1+ R_t}{R_tR_{t+1}} - \frac{C_1}{R_tR_{t+1}} - \frac{C_2}{R_{t+1}} \tag{1}$$

donde la restricción procede de la reordenación de la expresión presupuestaria intertemporal (ecuación 1 del documento), y los tipos de interés/ factores de descuento se tratan como exógenos. Dado que se trata de una restricción de igualdad (que implica que no hay motivo de legado ni deudas al final de la vida), podemos incorporarla a la función de utilidad y resolverla con respecto a $C_1$ y $C_2$ sólo. Las condiciones de primer orden son entonces

$$\frac{d U}{d C_k} = \frac{\partial U}{\partial C_k} + \frac{\partial U}{\partial C_3}\cdot \frac{\partial C_3}{\partial C_k} =0, \;\;\; k=1,2 \tag{2} $$

Como el consumo es un bien, la utilidad marginal es positiva. Esto implica que en la solución también,

$$\frac{\partial C_3}{\partial C_k} < 0,\;\;\; k=1,2 \tag{3}$$

Por la regla de la cadena podemos escribir

$$\frac{\partial C_3}{\partial R_{t+1}} = \frac{\partial C_3}{\partial C_k} \cdot \frac{\partial C_k}{\partial R_{t+1}} , \;\;\; k=1,2 \tag{4}$$ .

Debido a $(3)$ obtenemos el resultado fundamental de que, en la solución, el $t+1$ factor de descuento (o lo que es lo mismo, el $t+1$ tipo de interés) tenderá a afectar $C_3$ en la dirección opuesta a $C_1, C_2$ .

Esto es crucial, porque dice que los cambios en los tipos de interés exógenos conducirán a soluciones en las que observaremos mayores (menores) $C_1,C_2$ y menor (mayor) $C_3$ .

Samuelson afirma que $\partial C_3/\partial R_{t+1} >0$ lo que equivale a afirmar que

$$\frac{\partial C_k}{\partial R_{t+1}} < 0 , \;\;\; k=1,2$$

o, de forma equivalente, que

$$\frac{\partial C_3}{\partial i_{t+1}} < 0,\qquad \frac{\partial C_k}{\partial i_{t+1}} > 0 , \;\;\; k=1,2$$

¿Es este el caso?

Para unos tipos de interés dados, obtenemos una solución para el vector de consumo que implica un determinado ahorro y unos determinados ingresos por intereses. Si contemplamos un aumento de $i_{t+1}$ ingresos totales, $I$ tenderá a aumentar, $\partial I/\partial i_{t+1}>0$ . Entonces, porque se supone que el consumo es un bien "superior", $C_k,\; k=1,2$ son ciertamente bienes normales, $\partial C_k/\partial I >0$ y así

$$\frac{\partial C_k}{\partial i_{t+1}} = \frac{\partial C_k}{\partial I}\cdot \frac{\partial I}{\partial i_{t+1}} >0$$

Entonces para $C_3$ la misma relación implica que $\partial C_3/\partial I <0$ , en la solución . Esto no hace $C_3$ un bien inferior, cuando se considera por sí mismo, sino que es el resultado de que se determine de forma residual, como último elemento de un problema intertemporal de horizonte fijo.