Propósito de la Integral Semidefinida

Question

Quiero saber el significado de la Integral Semidefinida.

Estoy acostumbrado a leer integrales definidas e indefinidas, pero quiero saber el significado de la siguiente ecuación:

$\pi(e)\left(1-F\left[-\frac{a}{\pi(e)}\right]\right) \left(a+\frac{\int_{-\frac{a}{\pi(e)}}\mu f(\mu)d\mu }{\left(1-F\left[-\frac{a}{\pi(e)}\right]\right)}\right)$

Donde:

$\pi(e):$ es la probabilidad de encontrar la información $\mu$ dependiendo del esfuerzo $e$ del agente. $\left(1-F\left[-\frac{a}{\pi(e)}\right]\right)$ es la condición para que el agente busque esta información dependiendo del parámetro $a$ que puede ser visto como una recompensa.

$\mu$ es un término estocástico distribuido por $f(\mu)$, el valor esperado de $\mu$ es 0.

No entiendo el segundo término de la ecuación donde solo hay el límite inferior: $\int_{-\frac{a}{\pi(e)}}\mu f(\mu)d\mu$

Answer 1

Es simplemente una forma opaca de denotar que el límite de integración no definido tomará el valor de la variable misma. Es decir,

$$\int_a g(x) dx \equiv \int_a^x g(s)ds$$

... donde $s$ es simplemente la variable ficticia de integración. Ya que a veces usamos la notación $\int _D f(x) dx$ para denotar una integración completamente definida "sobre el dominio $D$ de $x", yo evitaría la notación del lado izquierdo y me quedaría con la más clara del lado derecho.

Espero que los autores donde encuentres esta notación signifiquen lo que escribí anteriormente, porque esto es lo que los matemáticos quieren decir con ello.