MRS por parejas
La Tasa Marginal de Sustitución suele definirse por pares. Por ejemplo, en el caso de tres bienes $x,y$ y $z$ , tendrías $\text{MRS}_{xy}, \text{MRS}_{xz}$ y $\text{MRS}_{yz}$ . (Y también se puede dar la vuelta a cualquiera de ellos, es decir $\text{MRS}_{yx}$ .)
Se definen como la pendiente de la línea tangente de la curva de indiferencia bidimensional manteniendo constantes las cantidades de todos los demás bienes. Matemáticamente son los mismos que los MRS "habituales" para dos bienes, por ejemplo $$ \text{MRS}_{yz}(x,y,z) = -\frac{\frac{\partial U(x,y,z)}{\partial y}}{\frac{\partial U(x,y,z)}{\partial z}}. $$
Hiperplanos tangenciales
Si lo he entendido bien, estás tratando de encontrar el hiperplano que es tangente a una curva de indiferencia. Cuando hay más de dos bienes, pero un número finito de ellos, se puede encontrar utilizando la matriz jacobiana de la función de utilidad.
El Derivado de Fréchet de una función $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ es el vector $A$ cuando $$f(x + h) = f(x) + Ah +o(h)$$ donde $\lim_{||h|| \to 0} \frac{o(h)}{||h||} = 0$ .
Si el espacio vectorial que consideramos es de dimensión finita y $f$ es diferenciable de Fréchet en todas partes entonces la derivada de Fréchet viene dada por la Matriz jacobiana de $f$ , denotado por $J_f$ .
Consideremos una función de utilidad diferenciable $U$ y que $\underline{x}$ sea una cesta de bienes. Esto también define una curva de indiferencia. Consideremos algunas cestas cercanas $\underline{x} + \underline{h}$ que están en la misma curva de indiferencia, por lo que $$ U(\underline{x} + \underline{h}) = U(\underline{x}). $$ Según la derivada de Fréchet $$ U(\underline{x} + \underline{h}) = U(\underline{x}) + J_U(\underline{x}) \underline{h} +o(\underline{h}), $$ lo que significa $$ J_U(\underline{x})\underline{h} = - o(\underline{h}). $$ Ya que al multiplicar por $J_U(\underline{x})$ es un operador lineal esto implica $$ J_U(\underline{x})\underline{h} = 0. $$ Así, el jacobiano define el hiperplano tangencial.
Ejemplo :
Dejemos que $U(x,y) = xy$ . Entonces el jacobiano es $ J_U(x,y) = \begin{bmatrix} y & x \end{bmatrix} $ , y $\text{MRS}(x,y)$ es la solución a $$J_U(x,y)\begin{bmatrix} 1 \\ \text{MRS}(x,y) \end{bmatrix} = 0.$$ En este caso $$ \begin{bmatrix} y & x \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ -y/x \end{bmatrix} = 0.$$
Relación entre el hiperplano y los MRS por pares, un ejemplo
Las MRS por pares pueden obtenerse de forma similar. Volviendo al ejemplo de las tres mercancías $x,y$ y $z$ los MRS por pares son soluciones a las siguientes ecuaciones matriciales: $$ J_U(x,y,z)\begin{bmatrix} 1 \\ \text{MRS}_{xy}(x,y,z) \\ 0 \end{bmatrix} = 0, $$ $$ J_U(x,y,z)\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ \text{MRS}_{xz}(x,y,z) \end{bmatrix} = 0, $$ $$ J_U(x,y,z)\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ \text{MRS}_{yz}(x,y,z) \end{bmatrix} = 0. $$
El hiperplano y la multiplicidad de operaciones
El jacobiano también nos muestra cómo se pueden intercambiar bienes de múltiples tipos y permanecer "cerca" de la misma curva de indiferencia. Si $$ J_U(x,y,z)\begin{bmatrix} 1 \\ \Delta y \\ \Delta z \end{bmatrix} = 0 $$ sostiene entonces que el comercio de pequeñas cantidades en las proporciones definidas por este vector nos mantendrá "cerca" de la curva de indiferencia. En mi opinión, esto es lo más parecido a un MRS multidimensional.
