Equivalencia de las zonas de excedentes de los productores

Question

Realmente no puedo entender cómo la suma de los rectángulos lleva a la suma del triángulo. Mi del libro (Capítulo 12, página 430) es la explicación:

La equivalencia de estas áreas puede demostrarse reconociendo que cada punto en la curva de oferta de la figura 12.11d representa el coste medio mínimo para alguna empresa. Para cada una de estas empresas, P - AC representa los beneficios por unidad de producción. Los beneficios totales a largo plazo pueden calcularse sumando todas las unidades de producción. todas las unidades de producción.

El autor no explica cómo la parte en negrita es válida y tampoco es obvio en el gráfico.

Answer 1

El beneficio de una empresa $i$ está dada por: $$\pi_i(p) = p q_i - C_i(q_i)$$ donde $p$ es el precio, $q$ _i es la producción de la empresa $i$ y $C_i(.)$ es la función de costes que difiere entre las empresas.

La condición de primer orden da: $$p = \frac{\partial C_i(q_i)}{\partial q_i} = MC_i(q_i^\ast)$$ Esto muestra cómo obtener la oferta óptima de la empresa $i$ es decir, donde $MC(q_i^\ast)$ es igual a $p$ (véanse las figuras a,b y c de la pregunta).

Los beneficios totales de la empresa son entonces: $$\begin{align*} \pi_i(p) &= pq_i^\ast - C_i(q_i^\ast),\\ &= \left(p - \frac{C_i(q_i^\ast)}{q_i^\ast}\right)q_i^\ast,\\ &= \left(MC(q_i^\ast) - AC(q_i^\ast)\right) q_i^\ast. \end{align*}$$ Esto corresponde a las áreas sombreadas de las figuras a,b y c de la pregunta: las áreas equivalen a la diferencia entre $MC(q_i^\ast)$ y $AC(q_i^\ast)$ multiplicado por $q_i^\ast$ .

Ahora, consideremos la condición de primer orden: $$p = MC_i(q_i^\ast).$$ Podemos invertir esta función para obtener la curva de oferta de la empresa $i$ : $$q_i(p) = q \text{ whenever } p = MC_i(q).$$ La oferta total en el mercado al precio $p$ se determina sumando las curvas de oferta de todas las empresas. $$Q(p) = \sum_i q_i(p).$$ Obsérvese que, como es habitual en economía, la figura d de la pregunta dibuja mal las curvas de oferta y demanda, ya que ponen $p$ en el eje vertical y $q$ en la horizontal. Matemáticamente, los dos deben ser intercambiados.

Si lo hiciéramos correctamente, debería ser algo así:

Si $p^\ast$ es el precio de equilibrio, entonces el excedente del productor viene dado por: $$PS = \int_0^{p^\ast} Q(p) dp = \sum_i \int_0^{p^\ast} q_i(p) dp$$ Ahora hagamos un cambio de variables $p \to q$ , donde $p = MC_i(q)$ . Entonces $dp = \frac{\partial MC_i(q)}{\partial q} dq$ Así que..: $$\int_0^{p^\ast} q_i(p) dp = \int_0^{q_i^\ast} q \frac{\partial MC_i(q)}{\partial q} dq.$$ Entonces usa la integración por partes para obtener: $$\begin{align*} \int_0^{q_i^\ast} q \frac{\partial MC_i(q)}{\partial q} dq &= \left[q MC_i(q)\right]^{q_i^\ast}_0 - \int_0^{q_i^\ast} MC_i(q) dq,\\ &= q_i^\ast MC_i(q_i^\ast) - C_i(q_i^\ast),\\ &= p^\ast q_i^\ast - C_i(q_i^\ast) = \pi_i^\ast. \end{align*}$$ Aquí asumimos $C_i(0) = 0$ y utilizamos la condición de primer orden para sustituir $MC_i(q_i^\ast) = p^\ast$ . También utilizamos $\pi_i^\ast$ para denotar el beneficio de la empresa $i$ al precio $p^\ast$ . De esto: $$CS = \sum_i \int_0^{p^\ast} q_i(p) dp = \sum_i \pi_i^\ast,$$ lo que demuestra que el excedente del consumidor es efectivamente igual a la suma de todos los beneficios de la industria.