El beneficio de una empresa $i$ está dada por: $$ \pi_i(p) = p q_i - C_i(q_i) $$ donde $p$ es el precio, $q$ _i es la producción de la empresa $i$ y $C_i(.)$ es la función de costes que difiere entre las empresas.
La condición de primer orden da: $$ p = \frac{\partial C_i(q_i)}{\partial q_i} = MC_i(q_i^\ast) $$ Esto muestra cómo obtener la oferta óptima de la empresa $i$ es decir, donde $MC(q_i^\ast)$ es igual a $p$ (véanse las figuras a,b y c de la pregunta).
Los beneficios totales de la empresa son entonces: $$ \begin{align*} \pi_i(p) &= pq_i^\ast - C_i(q_i^\ast),\\ &= \left(p - \frac{C_i(q_i^\ast)}{q_i^\ast}\right)q_i^\ast,\\ &= \left(MC(q_i^\ast) - AC(q_i^\ast)\right) q_i^\ast. \end{align*} $$ Esto corresponde a las áreas sombreadas de las figuras a,b y c de la pregunta: las áreas equivalen a la diferencia entre $MC(q_i^\ast)$ y $AC(q_i^\ast)$ multiplicado por $q_i^\ast$ .
Ahora, consideremos la condición de primer orden: $$ p = MC_i(q_i^\ast). $$ Podemos invertir esta función para obtener la curva de oferta de la empresa $i$ : $$ q_i(p) = q \text{ whenever } p = MC_i(q). $$ La oferta total en el mercado al precio $p$ se determina sumando las curvas de oferta de todas las empresas. $$ Q(p) = \sum_i q_i(p). $$ Obsérvese que, como es habitual en economía, la figura d de la pregunta dibuja mal las curvas de oferta y demanda, ya que ponen $p$ en el eje vertical y $q$ en la horizontal. Matemáticamente, los dos deben ser intercambiados.
Si lo hiciéramos correctamente, debería ser algo así: ![producer surplus]()
Si $p^\ast$ es el precio de equilibrio, entonces el excedente del productor viene dado por: $$ PS = \int_0^{p^\ast} Q(p) dp = \sum_i \int_0^{p^\ast} q_i(p) dp $$ Ahora hagamos un cambio de variables $p \to q$ , donde $p = MC_i(q)$ . Entonces $dp = \frac{\partial MC_i(q)}{\partial q} dq$ Así que..: $$ \int_0^{p^\ast} q_i(p) dp = \int_0^{q_i^\ast} q \frac{\partial MC_i(q)}{\partial q} dq. $$ Entonces usa la integración por partes para obtener: $$ \begin{align*} \int_0^{q_i^\ast} q \frac{\partial MC_i(q)}{\partial q} dq &= \left[q MC_i(q)\right]^{q_i^\ast}_0 - \int_0^{q_i^\ast} MC_i(q) dq,\\ &= q_i^\ast MC_i(q_i^\ast) - C_i(q_i^\ast),\\ &= p^\ast q_i^\ast - C_i(q_i^\ast) = \pi_i^\ast. \end{align*} $$ Aquí asumimos $C_i(0) = 0$ y utilizamos la condición de primer orden para sustituir $MC_i(q_i^\ast) = p^\ast$ . También utilizamos $\pi_i^\ast$ para denotar el beneficio de la empresa $i$ al precio $p^\ast$ . De esto: $$ CS = \sum_i \int_0^{p^\ast} q_i(p) dp = \sum_i \pi_i^\ast, $$ lo que demuestra que el excedente del consumidor es efectivamente igual a la suma de todos los beneficios de la industria.
