Modelo de Solow: Derivada parcial de y con respecto a n

Question

Estoy tratando de encontrar la derivada de $y$ con respecto a $n$. Todo lo que necesito hacer es tomar la derivada parcial $\frac{\partial y}{\partial n}$ de la función: $sf(k) = (n+g+\delta)k$ Aquí está lo que obtengo usando la regla de la cadena, pero está mal:

$$sf'(k) \frac{\partial k}{\partial n} = (n+g+\delta)\frac{\partial k}{\partial n}$$

Para resolver $\frac{\partial y}{\partial n}$ se necesitan algunos pasos adicionales, pero hasta donde sé, la ecuación ya está errónea. Por lo que he visto, el lado derecho debería ser aumentado por $k$ y entonces estaría correcto. ¿Alguna idea de dónde salió mal la derivación?

Answer 1

Necesitas usar el teorema de la función implícita. La relación a largo plazo implica

$$ 0 = F(n,k) = s f(k) - (n+g+\delta)k, $$

y esto define implícitamente la función $k(n)$. La derivada es entonces

$$ \frac{d k(n)}{d n} = -\frac{\partial F / \partial n}{\partial F / \partial k} = \frac{k}{s f'(k) - (n+g+\delta)}, $$

lo cual puede ser evaluado una vez que se ha resuelto la combinación particular de largo plazo (n,k). Para finalmente obtener la derivada de la producción $y = f(k)$ con respecto a $n$, simplemente usa la regla de la cadena:

$$ \frac{d y}{d n} = f'(k(n)) \frac{d k(n)}{d n}. $$