¿Qué es la segunda ronda de racionalización para una subasta de primer precio?

Question

Consideremos una subasta de primer precio. Supongamos que tenemos $N$ y creen que los valores de sus oponentes se extraen de una distribución uniforme en el intervalo $[0,1]$ .

Eliminemos las estrategias débilmente dominadas. La primera ronda eliminará claramente todas las ofertas superiores al valor privado $x$ . Pero, ¿qué rango de precios se eliminará en una segunda ronda?

Mi conjetura: tras la eliminación de las ofertas superiores a los valores privados, el licitador $i$ La función objetivo de la empresa en una situación de dos licitadores será $(v_i-b_i)\Pr(b_{-i}\leq b_i)$ . La probabilidad $\Pr(b_{-i}\leq b_i)$ se maximiza cuando $b_{-i}$ se acerca $v_{-i}$ . Así que la forma maximizada de las funciones objetivo del licitador $i$ es $(v_i-b_i)\Pr(v_{-i}\leq b_i)$ que es $(v_i-b_i)b_{i}$ . (Ya que asumimos una distribución uniforme de los valores) Así que después de la primera ronda de racionalización, el pago maximizado de un postor será $\frac{v^2_i}{4}$ . Esto significa que en la 2ª ronda de racionalización, ningún licitador ofertará por encima de $v_i-\frac{v^2_i}{4}$ .

Answer 1

La eliminación de las acciones (débilmente) dominadas no le llevará muy lejos. De hecho, todas las pujas estrictamente entre 0 y el valor no están dominadas. Por lo tanto, la oferta óptima de un comprador en una subasta de primer precio no puede determinarse sin conocer la creencia del postor (a menos que el valor del comprador sea 0).

Reclamación: Para cualquier tipo $x>0$ todas las ofertas $c \in (0,x)$ no están dominados.

• $c$ no está dominada por ninguna oferta $b>c$ : $b$ produce un valor estrictamente menor que $c$ si todos los demás licitadores ofertan $b_j<c$ .
• $c$ no está dominada por ninguna oferta $b<c$ : $b$ produce una utilidad estrictamente menor que $c$ si todos los demás licitadores ofertan $b_j=c$ .

Puede demostrar que, para todos los tipos $x>0$ La oferta cero está dominada por cualquier $b\in (0,\frac{N-1}{N} x)$ Sin embargo.

Supongamos que $p$ es la probabilidad de que todos los demás $(N-1)$ los licitadores ofertan cero. Entonces, ofertar cero produce una utilidad $\frac{p}{N}x$ : ganar por una aleatoriedad porque todos pujan lo mismo y luego ganar la lotería y no pagar nada. Sin embargo, cuando se puja $b$ del intervalo anterior, su recompensa esperada es al menos $$\geq p(x-b) > p (x - \frac{N-1}{N} x) > \frac{p}{N}x.$$