Resolución de un equilibrio Cournot, el caso de Q=q1+q2, Q(q1,q2)=q1+q2

Question

Estoy luchando con la diferenciación de cuándo usar $ Q=q_1+q_2$ y $Q(q_1,q_2)=q_1+q_2$

Para un juego cournot de 2 jugadores, dado $$ P=a-bQ, with \ MC's \ c_1 \neq c_2 $$

Encuentro lo siguiente:

FOC $$ q_{i}^* = \frac{a-c_i}{2b} - \frac{q_j}{2} $$

lo que me lleva a un valor de equilibrio de $$q_i^{eq}= \frac{a-2c_i+c_j}{3b} $$

cuando se utiliza $$P=a-b(q_1+q_2)$$

$$ \textbf{HOWEVER} $$

La respuesta suministrada es $$q_i^{eq} = \frac{2a+c_j-2c_i}{3b} $$

con FOC

$$ q_{i}^* = \frac{a-c_i}{b} - Q $$

donde la respuesta utiliza

$$P = a-bQ(q_1,q_2) $$

¿Cuándo se supone que debo utilizar las diferentes preguntas? ya que todos mis apuntes de clase siguen el método que he utilizado, y hay otras preguntas que parecen idénticas y utilizan $Q=q_1+q_2$ pero evidentemente hay un momento para utilizar $Q(q_1,q_2)$ .

Answer 1

Primer punto: escribes "Estoy luchando con la diferenciación de cuándo usar $ Q=q_1+q_2$ y $Q(q_1,q_2)=q_1+q_2$ ". Pero son la misma cosa: ambos definen $Q$ en función de $q_1$ y $q_2$ . Sólo que la segunda expresión hace explícita esta dependencia funcional al escribir los argumentos, mientras que la primera no lo hace. Esto es una cuestión de notación y no tiene ninguna relación con la solución.

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Empecemos escribiendo la función de beneficio y calculando la condición de primer orden:

$$\Pi=[a-b(q_i+q_j)]q_i-c_i q_i$$

$$\frac{\partial\Pi}{\partial q_i}=0 \iff a-b(q_i+q_j)-bq_i-c_i=0\iff q_i=\frac{a-bq_j-c_i}{2b}.$$

Este es el FOC que obtuviste en tu solución (sólo ligeramente reordenado). Hasta aquí, todo bien.

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Repitamos esos dos mismos pasos pero escribiendo los beneficios de una forma ligeramente diferente

$$\Pi=[a-bQ]q_i-c_i q_i$$

$$\frac{\partial\Pi}{\partial q_i}=0 \iff a-bQ-b\underbrace{\frac{dQ}{dq_i}}_{=1}q_i-c_i=0\iff q_i=\frac{a-c_i}{b}-Q.$$

Este es el FOC de la solución que te dieron. Pero tenga en cuenta que $Q=q_i+q_j$ . Haciendo esta sustitución se obtiene

$$q_i=\frac{a-c_i}{b}-Q=\frac{a-c_i}{b}-q_i-q_j$$ $$q_i=\frac{a-bq_j-c_i}{2b}.$$

En palabras: tu respuesta y la solución proporcionada tienen exactamente la misma condición de primer orden. Así que podemos estar seguros de que ambos son correctos al menos hasta aquí, y la discrepancia debe venir del siguiente paso.

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Ahora tenemos que resolver el sistema de condiciones de primer orden para el equilibrio. Tenemos

$$q_i=\frac{a-bq_j-c_i}{2b},\ q_j=\frac{a-bq_i-c_j}{2b},$$ $$q_i=\frac{a-b\frac{a-bq_i-c_j}{2b}-c_i}{2b}.$$

Resolviendo esta última ecuación para $q_i$ produce $$q_i^{\text{eq}}=\frac{a-2c_i+c_j}{3b}.$$

Esta es su respuesta. No está claro de dónde salió la respuesta en la solución, pero lo más probable es que haya un error de álgebra en el paso final del cálculo de la solución.

Answer 2

Me parece que hay un error en la respuesta que te han dado, o que se utiliza una función de beneficio bastante inusual.

En cualquier caso, cuando utilizamos

$\pi_i = (a-bQ(q_1,q_2))q_i-c_iq_i$

como función de beneficio, y no especifican más $Q$ El FOC es:

$\frac{d\pi_i}{dq_i}=a-c_i-b(q_i\frac{dQ(q_1,q_2)}{dq_i}+Q(q_1,q_2))$

Este último se derrumba a su primer FOC para $Q=q_1+q_2$ . La segunda FOC es esencialmente la misma que ha señalado Ubicuo. Ambas pueden obtenerse evaluando la derivada de Q con respecto a $q_i$ que es esencialmente 1.