Derivación de la función de demanda en el caso de funciones de utilidad multivariables con estructuras mínimas y máximas

Question

Supongamos que tengo una función de utilidad como esta $u(x_1,x_2,x_3)=min\{x_1,a-x_1\}\times min\{x_2,b-x_2\}+x_3$ donde a y b son números reales y $x_1\in [0, a]$ y $x_2\in [0,b]$ . ¿Cuál será el procedimiento para encontrar, por ejemplo, la demanda marshalliana $x(p,w)$ ?

Mi confusión : En el caso de una función más simple, sin estructuras de mínimo o máximo, simplemente utilizaría la Lagrangiana para definir la demanda. Sin embargo, la función dada no es diferenciable.

Mi pregunta ¿Puedo aplicar la lagrangiana en este caso y, si es así, cómo puedo hacerlo? Si es imposible utilizar la lagrangiana en este caso, ¿qué otra cosa debo hacer?

Answer 1

Es posible utilizar un lagrangiano para obtener las demandas marshallianas, siempre que se divida cada función mínima en dos partes diferentes y se tenga cuidado con las soluciones de frontera. Así, por ejemplo, si se impone la condición $x_1<\frac{a}{2}, x_2<\frac{b}{2}$ puede simplificar su función de utilidad a $x_1 x_2 + x_3$ y luego resolver las demandas marshallianas que son válidas cuando se cumple esta condición. Una vez que hayas obtenido tu demanda para esta pieza, es una buena práctica volver a plantear tu condición en función de los parámetros (a, b, w, y $\textbf{p}$ ) Entonces vuelve a tu función de utilidad original, impone una condición alternativa y repite para obtener un trozo diferente de la demanda. La función de demanda será a trozos (y en este caso parece que constará de bastantes trozos diferentes). Buena suerte.