Equivalencia de las definiciones del Axioma de Continuidad

Question

Estoy tratando de entender este tema con más detalle. A continuación se presentan las definiciones del Axioma de Continuidad dadas por diferentes autores. La Defn. 1 es dada por Ariel Rubinstein y he visto notas de clase usando la Defn. 2.

Def. 1: Una relación de preferencia $(\succeq)$ en $X$ es continua si para $r \succ s$ existe una bola $B_r$ y $B_s$ alrededor de $r$ y $s$ (respectivamente) tal que para cada $x$ en $B_r$ y $y$ en $B_s$ tenemos $x \succ y$ .

Def. 2: $\text{(Part 1)}$ Si $x_n \rightarrow x$ y $x_n \succeq y$ $\forall \ n$ entonces $x \succeq y$ y $\text{(Part 2)}$ si $x_n \preceq y$ $\forall \ n$ entonces $x \preceq y$ .

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Mis preguntas:

1. He visto la Defn. 1 y Defn. 2 en libros de microeconomía. No me parece que sean iguales; de hecho, la Defn. 2 es lo contrario de la Defn. 1. ¿No es así?

2. Muchos autores se limitan a escribir que "si A es más preferible que B y B está 'suficientemente cerca' de C, entonces A es preferible a C" . Si tengo que repasar la Def. 2 y escribirla de una manera más formal, entonces las partes 1 y 2 de la Def. 2 pueden corresponder a (o ser reescritas como) las partes 1 y 2 (respectivamente) como en la siguiente nueva Def. 3: $$\text{(Part 1) } (A \succeq B) \land (A \rightarrow C) \implies C \succeq B \\ \text{(Part 2) } (A \succeq B) \land (B \rightarrow C) \implies A \succeq C$$

Answer 1

Considera las siguientes 4 condiciones.

1. Si $x \succ y$ hay una bola $B_r$ alrededor de $x$ tal que para todo $z \in B_r$ , $z \succ y$ .
2. Si $y \succ x$ hay una bola $B_s$ alrededor de $x$ tal que para todo $z \in B_s$ tenemos $y \succ z$ .
3. si $x_n \to x$ y $x_n \succeq y$ entonces $x \succeq y$ .
4. Si $x_n \to x$ y $y \succeq x_n$ entonces $y \succeq x$ .

Considere los conjuntos $$ \begin{align*} &UC(y) = \{x: x \succeq y\},\\ &LC(y) = \{x: y \succeq x\},\\ &SUC(y) = \{x: x \succ y\},\\ &SLC(y) = \{x: y \succ x\}. \end{align*} $$ Tenemos las siguientes equivalencias:

• 1 equivale a la suposición de que $SUC(y)$ está abierto.
• 2 equivale a la suposición de que $SLC(y)$ está abierto
• 3 equivale a la suposición de que $UC(y)$ está cerrado
• 4 equivale a la suposición de que $LC(y)$ está cerrado.

También tenemos eso:

• $SUC(y)$ es el complemento de $LC(y)$ .
• $SLC(y)$ es el complemento de $UC(y)$ .

También sabemos que un conjunto es abierto si y sólo si su complemento es cerrado. De esto se deduce que $1$ equivale a $4$ y $2$ equivale a $3$ .

También puede probarlo directamente

El 1 equivale a 4

prueba ( $1 \to 4$ ) Deja que $x_n \to x$ y $y \succeq x_n$ . Hacia una contradicción suponga que $y \not \succeq x$ lo que significa que $x \succ y$ . Entonces sabemos que existe una bola abierta $B_r$ alrededor de $x$ tal que para todo $z \in B_r$ , $z \succ y$ . Pero para $n$ lo suficientemente grande tenemos que $x_n \in B_r$ Así pues, para $n$ lo suficientemente grande también $x_n \succ y$ , lo cual es una contradicción.

$(4 \to 1)$ . Supongamos que $x \succ y$ y asumir que para todas las bolas abiertas $B_r$ alrededor de $x$ existe un $z_r$ tal que $z_r \not \succ y$ lo que significa que $y \succeq z_r$ . Tome una secuencia $r_n \to 0$ que genera una secuencia $z_n$ con $y \succeq z_n$ y $z_n \to x$ . La suposición 4 da entonces que $y \succeq x$ , lo que da la contradicción deseada.

La equivalencia entre 2 y 3 puede demostrarse de forma similar.

... continuar la respuesta

Otras condiciones de continuidad

Considere además las siguientes 2 condiciones

5. Si $x \succ y$ hay una bola $B_r$ alrededor de $x$ y una pelota $B_s$ alrededor de $y$ tal que para todo $z \in B_r$ y $w \in B_s$ , $z \succ w$ .

6. Si $x_n \to x$ y $y_n \to y$ y para todos $n$ , $y_n \succeq x_n$ entonces $y \succeq x$ .

Demostremos primero que estos dos son equivalentes

El $5$ equivale a $6$ .

prueba Supongamos que $5$ se mantiene. Sea $x_n \to x$ y $y_n \to y$ con $y_n \succeq x_n$ para todos $n$ . Hacia una contradicción suponga que $y \not \succeq x$ . Entonces $x \succ y$ . Como tal, debería haber una bola $B_r$ alrededor de $x$ y $B_s$ alrededor de $y$ tal que para todo $z \in B_r$ y $w \in B_s$ , $z \succ w$ . Ahora, para todos $n$ lo suficientemente grande $x_n \in B_r$ y $y_n \in B_s$ . Por ello, para $n$ lo suficientemente grande $x_n \succ y_n$ una contradicción.

Para el caso contrario, supongamos que $6$ tiene $x \succ y$ y, hacia una contradicción para todas las bolas $B_r$ alrededor de $x$ y $B_s$ alrededor de $y$ Hay $z \in B_r$ y $w \in B_s$ tal que $w \succeq z$ . Dejemos que $r_n \to 0$ y $s_n \to 0$ entonces podemos generar una secuencia $z_n \in B_{r_n}$ y $w_n \in B_{s_n}$ tal que $z_n \to x$ , $w_n \to y$ . Y para todos $n$ , $w_n \succeq z_n$ . esto da (por $6$ ) que $y \succeq x$ una contradicción.

Conexión de las distintas condiciones

Recuerda de la primera parte las dos condiciones siguientes:

7. $\forall x, y$ , si $x_n \to x$ y $y \succeq x_n$ para todos $n$ entonces $y \succeq x$ $\leftrightarrow$ $\forall y$ , $LC(y)$ está cerrado, $\leftrightarrow$ $\forall y$ , $SUC(y)$ está abierto

8. $\forall x, y$ si $y_n \to y$ y $y_n \succeq x$ para todos $n$ entonces $y \succeq x$ $\leftrightarrow$ $\forall x$ , $UC(x)$ está cerrado $\leftrightarrow$ $\forall x$ , $SLC(x)$ está abierto

El siguiente resultado muestra la equivalencia entre $5$ (o $6$ ) $ and $ 7 $ and $ 8$. También es el ejercicio 3.C.3 en MWG (si te interesa). La prueba no es tan evidente.

El $5$ (o, por el contrario, el $6$ ) se cumplen si y sólo si ambos $7$ y $8$ aguantar.

prueba Que $5$ (o $6$ ) implica $7$ y $8$ es obvio ya que podemos tomar la secuencia constante Para la inversa, supongamos que $7$ y $8$ y que $6$ no es cierto. Esto significa que $x_n \to x$ , $y_n \to y$ , $y_n \succeq x_n$ para todos $n$ y $x \succ y$ . Entonces, como $SUC(y)$ está abierto, hay un $N_1$ tal que para todo $n \ge N_1$ : $$ x_n \succ y. $$ Como $SLC(x)$ está abierto, también hay un $N_2$ tal que para todo $n \ge N_2$ : $$ x \succ y_n. $$ Hay dos casos posibles.

1. Hay un $N_3$ tal que para todo $n \ge N_3$ : $$ x_n \succeq x. $$

2. Hay una subsecuencia $k(n)$ tal que para todo $n$
   $$ x \succ x_{k(n)}. $$

Si $1.$ es el caso, entonces para todo $n \ge \max\{N_3, N_2\}$ , $$ x_n \succeq x \succ y_n, $$ una contradicción.

Si $2.$ es el caso, entonces podemos encontrar un $m$ tal que $k(m) \ge N_1$ . Entonces: $$ x \succ x_{k(m)} \succ y $$ Como $SUC(x_{k(m)})$ está abierto y $x_n \to x$ sabemos que hay un $N_4$ tal que para todo $n \ge N_4$ : $$ y_n \succeq x_n \succ x_{k(m)} \succ y $$ Tomando el límite para $n \to \infty$ vemos que: $$ y \succeq x_{k(m)} \succ y. $$ de nuevo una contradicción.