El PIB en equilibrio

Question

Tengo que encontrar el PIB en equilibrio para un modelo IS LM. Se da que

$M^d (Y,r)=M_0+M_1Y-M_2r$ y $M^d=M/P$ , $M_0,M_1,M_2>0$ y $M^d$ es la demanda de dinero.

mi solución hasta ahora

He descubierto que $IS=\frac{1}{1-b}(a-bT+I_0-I_1r+G)$ y $a,b,c,I_0,I_1>0$ , $0<b<1$ de un resultado anterior. Entonces procedí a encontrar $LM=-\frac{M_0}{M_1}+\frac{M}{M_1P}+\frac{M_2r}{M_1}$ (tenemos que tener $Y$ en función de $r$ y no de la manera habitual al revés). $G,P,M,P$ son todos exo.

Ahora bien, no sé cómo se deriva el PIB del equilibrio cuando tenemos que expresar en términos de $r$ .

Answer 1

Suponiendo que no haya habido errores en el cálculo de IS y LM se acaba de resolver uno para $r$ sustituir en otro y resolver el resultado - esto no es diferente de resolver un sistema de dos ecuaciones.

$$Y = -\frac{M_0}{M_1}+\frac{M}{M_1P}+\frac{M_2r}{M_1} \implies r = \frac{M_1}{M_2}\left( Y +\frac{M_0}{M_1}-\frac{M}{M_1P}\right)$$

sólo hay que introducir esta expresión para $r$ en el IS y se obtiene la solución.

$$Y = \frac{1}{1-b}(a-bT+I_0-I_1 \frac{M_1}{M_2}\left( Y +\frac{M_0}{M_1}-\frac{M}{M_1P}\right)+G) $$

$$Y^* = \frac{(1-b)M_2}{((1-b)M_2+ I_1)M_1} \frac{1}{1-b}(a-bT+I_0 -I_1 \frac{M_1}{M_2}\left(\frac{M_0}{M_1}-\frac{M}{M_1P}\right)+G)\\ =\frac{M_2}{((1-b)M_2+ I_1)M_1} (a-bT+I_0 - \frac{I_1}{M_2}\left( M_0-\frac{M}{P}\right)+G)$$