¿Cómo resolver el equilibrio de Bertrand con un MC no constante?

Question

Sé que los oligopolios de Bertrand cobrarán un precio igual al coste marginal. Pero si el coste marginal es, digamos,

2Q o 4Q^2

(es decir, no es constante), ¿cómo se puede determinar en qué punto de la curva MC se encuentra el equilibrio?

Si hay 5 empresas de Bertrand, ¿encuentro el punto en el que el MC se cruza con la curva de demanda y divido la cantidad por 5, y luego fijo el precio igual al MC en esa cantidad?

Conceptualmente esto suena razonable, pero no estoy seguro de que sea correcto. Si estas empresas cobran este precio entonces me parece que una de ellas subproducirá para cobrar un precio más bajo hasta que (si MC es 2Q por ejemplo) el precio y la cantidad = 0. Así que ninguna empresa producirá porque si lo hace entonces alguien cobrará un céntimo menos hasta que lleguemos a 0 de nuevo.

Answer 1

La cuestión principal parece ser que usted parte de la base de que en la competencia de Bertrand una empresa es libre de fijar un precio y también una cantidad. Pero en la competencia de Bertrand las empresas fijan los precios y luego tienen que satisfacer la demanda sea cual sea su nivel. A continuación se presenta una discusión detallada.

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Asumiré que las funciones de costes son las mismas para todas las empresas y también que la función de costes marginales es no decreciente. (Usted no indica explícitamente estas condiciones, pero parece suponerlas también). También supondré que la demanda es no creciente en precio.

En este caso, su candidato para el equilibrio es cuando todas las empresas fijan el precio $p^*$ donde todas las empresas producen $$ q^* = \frac{D(p^*)}{5} $$ y donde $$ p^* = MC(q^*). $$ ¿Es esto realmente un equilibrio, o podría una empresa beneficiarse desviándose a un precio ligeramente inferior $p'$ ?

Si, por ejemplo, la empresa 1 se desviara a $p' < p^*$ mientras que las otras empresas siguen cobrando $p^*$ entonces todos los consumidores buscarían la empresa 1. Dado que $p' < p^*$ y la demanda es no creciente en precio $$ D(p') > D(p^*). $$ La empresa 1 tiene que cumplir esto sola, así que $$ q_1 = D(p') > D(p^*) = 5 \cdot q^*. $$ Como el coste marginal no es decreciente, también se tiene $$ MC(q_1) > MC(q^*). $$ Así que ahora la empresa cobra un precio más bajo que $p^* = MC(q^*)$ pero tiene que producir tanto que el coste marginal sea mayor que $p^*$ por lo que obtiene beneficios negativos, por lo que la desviación de $p^*$ no era rentable.