Confusión sobre el enfoque de la AEM para los complementos perfectos. Resuelto el UMP pero con problemas con el EMP

Question

He realizado con éxito el UMP para obtener complementos perfectos. He conseguido

$$x^* = y^* = \frac{m}{p_x +p_y}$$ Esto tiene un sentido intuitivo porque para cualquier bien del que tenga menos, no quiero comprar más unidades del otro. Por tanto, la cantidad total que debo gastar debe ser la cantidad óptima multiplicada por $p_x + p_y$ .

Sin embargo, estoy completamente perdido sobre cómo hacer la versión EMP de esto. Sigo yendo en círculos.

He hecho el Lagrangiano y he obtenido para $x > y$ , $e = p_y \bar{U}$ y para $x <y$ que $e = p_x \bar{U}$ .

Aquí está mi trabajo:

https://math.stackexchange.com/questions/1252173/can-one-optimize-a-function-with-minx-y-as-a-constraint/1252341#1252341

Pero esto no tiene sentido para mí. No veo cómo esto se relaciona con la solución que obtuve para el UMP que sí tenía sentido.

¿Qué estoy malinterpretando de la AEM que está llevando a estos resultados sin sentido que no coinciden con lo que hice para la UMP?

Answer 1

Ya obtuviste tu respuesta en el foro de matemáticas, desde el punto de vista de la economía tal vez te pueda ayudar que puedas utilizar la relación entre la función de gasto y la utilidad indirecta para obtener tu solución. Tu utilidad indirecta de la UMP es $v(p,w)=\frac{m}{p_x+p_y}$ Esto proporciona la función de gasto de la AEM $e(p,\overline{u})=\overline{u}\ (p_x+p_y)$ . Ahora la demanda hicksiana es $h(p,u)=(u,u)$ . Este es el caso, por supuesto, de la utilidad $u(x,y)=min(x,y)$ .