Con opciones exóticas, los titulares suelen enfrentarse a opciones en ciertos momentos. En mi entendimiento, el precio de la opción se determina asumiendo que se toma la elección óptima y calculando la expectativa descontada del pago bajo la medida de neutralidad al riesgo con inducción hacia atrás. Mi pregunta es si tengo tales opciones, ¿cómo me beneficia tomar la elección óptima? Dichas elecciones óptimas son óptimas bajo la medida de neutralidad al riesgo, entonces ¿cómo tomar esas elecciones implica/garantiza (incluso probabilísticamente) algo bajo la medida real? Si tomo la elección óptima determinada por el modelo de precios, eso maximizaría el precio de la opción libre de arbitraje que tengo, pero ¿eso tiene alguna optimalidad en el mundo real? ¿Eso tiende a llevar a un mayor P/L? Supongamos que la opción tiene valor intrínseco $x$, valor extrínseco $y$, y simplemente tengo esta opción, no con propósitos de cobertura y sin ninguna vista particular sobre el subyacente. ¿Cómo puedo beneficiarme de la opcionalidad/valor extrínseco? Entiendo que perdería parte del valor extrínseco si no sigo la elección óptima, pero eso es simplemente un constructo teórico, ¿dónde vería la manifestación de esta "pérdida de valor"?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Consideremos una opción europea de vainilla. La estrategia óptima en la medida neutral al riesgo es ejercer si $S(T)>K$. (porque en el mundo neutral al riesgo, valoro mi pago en su esperanza, que en ese punto es el pago en sí mismo. En el momento T, si $S(T)-K$ es positivo, lo tomaré en lugar de no ejercer, que es un pago de 0.
Esto por supuesto también es óptimo en el mundo real - más dinero es mejor que menos dinero. Entonces, mi 'estrategia óptima de ejercicio' coincide.
La manifestación de pérdida de valor es una fuga de PnL. Considera el mismo ejemplo que arriba. Digamos que $S(T)>K$ pero no ejerces tu opción en absoluto: así que acabas de pagar algo por la opción, pero una estrategia de ejercicio subóptima significa que no tienes nada. Este es un ejemplo extremo, por supuesto, pero se entiende la idea.
La misma idea se extiende a los exóticos. Considera un bermudiano con 2 fechas de ejercicio. Denotemos por E el valor de ejercicio inmediato en la primera fecha, y por C el valor de continuación. Denotemos por $w$ el estado del mundo, y $T$ denota la 1ra fecha de ejercicio, y $T_ex$ denota la fecha en la que ejerzo mi opción (que es aleatoria).
Sea $A={w:E(w)>C(w)}$. Entonces $Pr[(T_ex=T)|A]=1$ en la medida neutral al riesgo. Dado que el mundo real y la medida neutral al riesgo son equivalentes (están de acuerdo en lo que es posible y no), obtenemos $Pr[(T_ex=T)|A]=1$ en el mundo real. Esto te dice que ejercerás en el mundo real exactamente cuando ejerzas en la 'medida neutral al riesgo'. Lo cual te dice que la 'estrategia óptima' es exactamente la misma.
Apéndice:
La prueba de que las probabilidades condicionales son iguales en medidas equivalentes se piensa mejor considerando (asumiendo $Pr(A)>0$ y $Pr(B)>0$) digamos $Pr(B|A)=0$ en la medida R.N. Luego $Pr(B,A)=0 => Pr(B,A)=0$ en la medida del mundo real. Dado que $Pr(A)>0$, debemos tener $Pr(B|A)=0$ en la medida del mundo real también.
