Suma de funciones homotéticas

Question

Si dos funciones de utilidad representan preferencias homotéticas, ¿su suma será también homotética?

Answer 1

Defn: Una función $h:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}$ es homogénea de grado $k$ si para cada uno de los valores no nulos $\alpha$ , $h(\alpha x, \alpha y)=\alpha^k h(x,y)$ .

Definición: Una función es homotética si es una transformación monótona de una función homogénea.

Lema: Si $f$ es homotético, es decir $f=g\circ u$ para un número estrictamente creciente de $g$ y homogéneo $u$ entonces $$ \frac{\frac{\partial f}{\partial x}}{\frac{\partial f}{\partial y}} = \frac{g'(u(x,y))\frac{\partial u}{\partial x}}{g'(u(x,y))\frac{\partial u}{\partial y}}=\frac{\frac{\partial u}{\partial x}}{\frac{\partial u}{\partial y}} $$ es homogénea de grado cero.

Dejemos que

i) $u_1(x,y)=x+y$ ,

ii) $u_2(x,y)=\log(2x+y)$

Entonces, $u_1$ y $u_2$ son funciones homotéticas ya que son transformaciones monótonas de funciones homogéneas (de grado 1). Sea

iii) $u_3(x,y)=x+y+log(2x+y)$ . Entonces

$$ MRS_{u_3}=\frac{\frac{\partial u_3}{\partial x}}{\frac{\partial u_3}{\partial y}}=\frac{1+\frac{2}{2x+y}}{1+\frac{1}{2x+y}}=\frac{2x+y+2}{2x+y+1} $$ que no es homogénea de grado 0.

Por lo tanto, la suma de funciones homotéticas no es necesariamente homotética.

Answer 2

Una preferencia homotética significa que para alguna función de utilidad que representa las preferencias,

$$u(\alpha x, \ \alpha y) = \alpha u(x, \ y)$$ para cualquier paquete $(x, \ y)$ .

Consideremos ahora la suma de dos funciones de utilidad homotéticas diferentes, $w$ .

$$u(x, \ y), v(x, \ y)$$ $$w(x, \ y) = u(x, \ y) + v(x, \ y)$$ $$\alpha w(x, \ y) = \alpha u(x, \ y) + \alpha v(x, \ y)$$ $$= u(\alpha x, \ \alpha y) + v(\alpha x, \ \alpha y)$$ $$= w(\alpha x, \ \alpha y)$$