Demostrar que no existen oportunidades de arbitraje dados 3 estados y 2 activos

Question

Supongamos que hay 3 estados del mundo: w1, w2 y w3. Supongamos que hay dos activos: un activo sin riesgo que rinde Rf en cada estado, y un activo con riesgo que rinde R1 en el estado w1, R2 en el estado w2, y R3 en el estado W3. Supongamos que las probabilidades son 1/4 para el estado w1, 1/2 para el estado w2 y 1/4 para el estado w3. Suponga que Rf=1,0 y R1= 1,1, R2=1,0 y R3= 0,9.

(a) Demuestre que no hay oportunidades de arbitraje. (b) Describa la familia unidimensional de vectores de precios de estado (q1,q2,q3)>

Para (a), creo que esto equivale a demostrar que existe un vector de precios estatales.

Sé que p=Xq, pero como sólo nos dan dos activos, X no tiene inversa, así que no sé cómo calcular q. Además, no nos dan p. ¿Cómo demuestro que existe un vector de precios de estado?

Answer 1

En primer lugar, se le da de hecho $p$ . Se puede pensar en la rentabilidad como un valor que cuesta 1 en el período actual y se paga $R$ en el siguiente periodo. El vector de precios y la matriz de pagos son, por tanto, los siguientes $$ p = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}, \ X = \begin{bmatrix} 1.1 & 1.0 & 0.9 \\ 1.0 & 1.0 & 1.0 \end{bmatrix} $$ y necesitamos encontrar un vector positivo $q$ de los precios del estado tal que $p = Xq$ . Como el sistema es indeterminado, puede haber muchos vectores de este tipo, pero mientras algunos de ellos sean positivos, podemos estar seguros de que no hay arbitraje. Para hacer realmente el cálculo, una forma sería tratar $q_3$ como parámetro, resolver para $q_1, q_2$ como funciones de $q_3$ , a continuación, tratar de encontrar $q_3 > 0$ de manera que los valores implícitos de $q_1,q_2$ son positivos. Pero en este caso es fácil ver que $q = (\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$ hace el trabajo.